Номер 8.7, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.7, страница 45.

8.7. а) $\sqrt{b^{-1}}$;

б) $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{-3}}}$;

в) $\sqrt[12]{b^{-5}}$;

г) $\frac{1}{\sqrt[3]{a^{-2}}}$.

а) Чтобы представить выражение в виде степени, воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $.
Квадратный корень является корнем второй степени, поэтому $ \sqrt{b^{-1}} = \sqrt[2]{b^{-1}} $.
Применяя формулу, где $ n=2 $, $ a=b $ и $ m=-1 $, получаем:
$ \sqrt{b^{-1}} = b^{\frac{-1}{2}} = b^{-\frac{1}{2}} $.
Ответ: $ b^{-\frac{1}{2}} $.

б) Сначала преобразуем выражение в знаменателе, используя формулу $ \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} $.
$ \sqrt[4]{x^{-3}} = x^{\frac{-3}{4}} = x^{-\frac{3}{4}} $.
Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{1}{\sqrt[4]{x^{-3}}} = \frac{1}{x^{-\frac{3}{4}}} $.
Далее воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n $.
$ \frac{1}{x^{-\frac{3}{4}}} = x^{\frac{3}{4}} $.
Ответ: $ x^{\frac{3}{4}} $.

в) Используем ту же формулу, что и в предыдущих пунктах: $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $.
В данном случае степень корня $ n=12 $, основание степени $ a=b $, а показатель степени под корнем $ m=-5 $.
$ \sqrt[12]{b^{-5}} = b^{\frac{-5}{12}} = b^{-\frac{5}{12}} $.
Ответ: $ b^{-\frac{5}{12}} $.

г) Решение аналогично пункту б).
Сначала преобразуем знаменатель дроби, используя формулу $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $:
$ \sqrt[3]{a^{-2}} = a^{\frac{-2}{3}} = a^{-\frac{2}{3}} $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{1}{\sqrt[3]{a^{-2}}} = \frac{1}{a^{-\frac{2}{3}}} $.
Используя свойство степени $ \frac{1}{x^{-n}} = x^n $, получаем:
$ \frac{1}{a^{-\frac{2}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} $.
Ответ: $ a^{\frac{2}{3}} $.