Номер 7.22, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.22, страница 40.

Выполните действия:

7.22. a) $ (\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}) $

б) $ (\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5}) $

в) $ (a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) $

г) $ (\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} - \sqrt[3]{4}) $

а) Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух членов. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
В нашем случае $x = \sqrt[3]{m}$ и $y = 2\sqrt[3]{n}$.
Применяем формулу:
$(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}) = (\sqrt[3]{m})^2 - (2\sqrt[3]{n})^2 = \sqrt[3]{m^2} - 2^2(\sqrt[3]{n})^2 = \sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{n^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{n^2}$.

б) Чтобы увидеть знакомую формулу, поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5}) = (\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt[3]{5} + \sqrt{3})$.
Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = \sqrt[3]{5}$ и $y = \sqrt{3}$.
Выполним вычисления:
$(\sqrt[3]{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = \sqrt[3]{5^2} - 3 = \sqrt[3]{25} - 3$.
Ответ: $\sqrt[3]{25} - 3$.

в) Данное выражение является классическим примером применения формулы разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Здесь $x = a$ и $y = \sqrt{b}$.
Применяем формулу:
$(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$.
Ответ: $a^2 - b$.

г) Переставим слагаемые в скобках, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы разности квадратов: $(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} - \sqrt[3]{4}) = (2\sqrt{2} + \sqrt[3]{4})(2\sqrt{2} - \sqrt[3]{4})$.
Используем формулу $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$, где $x = 2\sqrt{2}$ и $y = \sqrt[3]{4}$.
Вычислим квадраты каждого члена:
$x^2 = (2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.
$y^2 = (\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$.
Теперь найдем разность: $x^2 - y^2 = 8 - 2\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $8 - 2\sqrt[3]{2}$.