Номер 7.15, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.15, страница 39.

7.15. Внесите множитель под знак корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

а) $7a^2 \cdot \sqrt{ab}$;

б) $5ab^2 \cdot \sqrt[3]{a^2b}$;

в) $5x \cdot \sqrt{2x}$;

г) $2m \cdot \sqrt[3]{3m^2}$.

а) Чтобы внести множитель $7a^2$ под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель во вторую степень (в квадрат), поскольку степень корня равна 2. По условию задачи переменные принимают только неотрицательные значения, поэтому множитель $7a^2$ также неотрицателен.
$7a^2 \cdot \sqrt{ab} = \sqrt{(7a^2)^2 \cdot ab}$
Возводим множитель в квадрат: $(7a^2)^2 = 7^2 \cdot (a^2)^2 = 49a^4$.
Теперь умножаем полученное выражение на исходное подкоренное выражение $ab$:
$\sqrt{49a^4 \cdot ab} = \sqrt{49a^{4+1}b} = \sqrt{49a^5b}$.
Ответ: $\sqrt{49a^5b}$.

б) Чтобы внести множитель $5ab^2$ под знак кубического корня, необходимо возвести этот множитель в третью степень (в куб), так как показатель корня равен 3.
$5ab^2 \cdot \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{(5ab^2)^3 \cdot a^2b}$
Возводим множитель в куб: $(5ab^2)^3 = 5^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = 125a^3b^6$.
Умножаем результат на подкоренное выражение $a^2b$:
$\sqrt[3]{125a^3b^6 \cdot a^2b} = \sqrt[3]{125a^{3+2}b^{6+1}} = \sqrt[3]{125a^5b^7}$.
Ответ: $\sqrt[3]{125a^5b^7}$.

в) Вносим множитель $5x$ под знак квадратного корня. Для этого возводим $5x$ в квадрат. Так как по условию $x \ge 0$, множитель $5x$ также неотрицателен.
$5x \cdot \sqrt{2x} = \sqrt{(5x)^2 \cdot 2x}$
Возводим множитель в квадрат: $(5x)^2 = 5^2 \cdot x^2 = 25x^2$.
Умножаем результат на подкоренное выражение $2x$:
$\sqrt{25x^2 \cdot 2x} = \sqrt{50x^{2+1}} = \sqrt{50x^3}$.
Ответ: $\sqrt{50x^3}$.

г) Вносим множитель $2m$ под знак кубического корня. Для этого возводим $2m$ в третью степень.
$2m \cdot \sqrt[3]{3m^2} = \sqrt[3]{(2m)^3 \cdot 3m^2}$
Возводим множитель в куб: $(2m)^3 = 2^3 \cdot m^3 = 8m^3$.
Умножаем результат на подкоренное выражение $3m^2$:
$\sqrt[3]{8m^3 \cdot 3m^2} = \sqrt[3]{24m^{3+2}} = \sqrt[3]{24m^5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{24m^5}$.