Номер 5.17, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.17, страница 32.

5.17. a) $y = \sqrt[4]{\frac{10x^3 - 21x^2 + 4}{x^2 - 4x - 21}}$;

б) $y = \sqrt[6]{4x^2 + 11.5x - 1.5} - \sqrt{x^3 - x^2 - 10x - 8}$;

в) $y = \sqrt[8]{\frac{x^3 - 12x + 16}{x^2 - 2x - 15}}$;

г) $y = \frac{\sqrt[4]{-x^3 + 5x^2 - 8x + 4}}{\sqrt{x^2 - 9|x| + 18}}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt[4]{\frac{10x^3 - 21x^2 + 4}{x^2 - 4x - 21}}$ находится из условия, что подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае 4-й) должно быть неотрицательным. Также знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Таким образом, необходимо решить систему неравенств:$$\begin{cases} \frac{10x^3 - 21x^2 + 4}{x^2 - 4x - 21} \ge 0 \\ x^2 - 4x - 21 \ne 0 \end{cases}$$Решим неравенство $\frac{10x^3 - 21x^2 + 4}{x^2 - 4x - 21} \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем корни числителя $10x^3 - 21x^2 + 4 = 0$. Подбором находим корень $x=2$. Разделив многочлен на $(x-2)$, получим $10x^2-x-2$. Корни квадратного уравнения $10x^2-x-2=0$ равны $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(10)(-2)}}{20} = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{20} = \frac{1 \pm 9}{20}$. Отсюда $x_1 = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$.Таким образом, числитель можно разложить на множители: $10(x-2)(x-1/2)(x+2/5)$.

2. Найдем корни знаменателя $x^2 - 4x - 21 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -3$.Знаменатель раскладывается на множители: $(x-7)(x+3)$.

3. Неравенство принимает вид:$$ \frac{10(x-2)(x-1/2)(x+2/5)}{(x-7)(x+3)} \ge 0 $$Отметим на числовой оси корни числителя ($-\frac{2}{5}, \frac{1}{2}, 2$) и корни знаменателя ($-3, 7$). Корни знаменателя будут выколотыми точками.

Определим знаки выражения на каждом интервале:

• При $x > 7$: $(+) \implies$ подходит.
• При $x \in (2, 7)$: $(-) \implies$ не подходит.
• При $x \in (1/2, 2)$: $(+) \implies$ подходит.
• При $x \in (-2/5, 1/2)$: $(-) \implies$ не подходит.
• При $x \in (-3, -2/5)$: $(+) \implies$ подходит.
• При $x < -3$: $(-) \implies$ не подходит.

Учитывая, что неравенство нестрогое, корни числителя включаются в решение.

Ответ: $x \in (-3, -2/5] \cup [1/2, 2] \cup (7, \infty)$.

б)

Область определения функции $y = \sqrt[6]{4x^2 + 11.5x - 1.5} - \sqrt{x^3 - x^2 - 10x - 8}$ является пересечением областей определения двух слагаемых.

1. Для первого слагаемого $\sqrt[6]{4x^2 + 11.5x - 1.5}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:$4x^2 + 11.5x - 1.5 \ge 0$. Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: $8x^2 + 23x - 3 \ge 0$.Найдем корни уравнения $8x^2 + 23x - 3 = 0$:$D = 23^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 529 + 96 = 625 = 25^2$.$x = \frac{-23 \pm 25}{16}$, откуда $x_1 = -3$, $x_2 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1/8, \infty)$.

2. Для второго слагаемого $\sqrt{x^3 - x^2 - 10x - 8}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:$x^3 - x^2 - 10x - 8 \ge 0$.Найдем корни многочлена $P(x) = x^3 - x^2 - 10x - 8$. Подбором находим корень $x=-1$. $P(-1)=-1-1+10-8=0$.Также $x=-2$ является корнем: $P(-2)=-8-4+20-8=0$.Сумма корней кубического уравнения равна $-(-1)/1=1$. Два корня $(-1)$ и $(-2)$, значит третий корень $x_3 = 1 - (-1) - (-2) = 4$.Неравенство принимает вид $(x+1)(x+2)(x-4) \ge 0$.Методом интервалов получаем решение: $x \in [-2, -1] \cup [4, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных множеств:$((-\infty, -3] \cup [1/8, \infty)) \cap ([-2, -1] \cup [4, \infty))$.Интервал $(-\infty, -3]$ не пересекается с $[-2, -1] \cup [4, \infty)$.Интервал $[1/8, \infty)$ не пересекается с $[-2, -1]$.Пересечение $[1/8, \infty)$ и $[4, \infty)$ есть $[4, \infty)$.

Ответ: $x \in [4, \infty)$.

в)

Область определения функции $y = \sqrt[8]{\frac{x^3 - 12x + 16}{x^2 - 2x - 15}}$ находится из условия $\frac{x^3 - 12x + 16}{x^2 - 2x - 15} \ge 0$.

1. Разложим на множители числитель $x^3 - 12x + 16$. Подбором находим корень $x=2$: $8 - 24 + 16 = 0$.Делением получаем $x^3 - 12x + 16 = (x-2)(x^2+2x-8)$.Корни квадратного трехчлена $x^2+2x-8=0$ это $x=-4$ и $x=2$.Таким образом, числитель равен $(x-2)(x-2)(x+4) = (x-2)^2(x+4)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 - 2x - 15$. Корни $x=5$ и $x=-3$.Знаменатель равен $(x-5)(x+3)$.

3. Неравенство принимает вид:$$ \frac{(x-2)^2(x+4)}{(x-5)(x+3)} \ge 0 $$Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=2$, что удовлетворяет неравенству (дробь равна 0). Точка $x=2$ входит в область определения.При $x \ne 2$ множитель $(x-2)^2$ положителен и на знак дроби не влияет. Решаем неравенство $\frac{x+4}{(x-5)(x+3)} \ge 0$.Методом интервалов для этого неравенства с точками $-4, -3, 5$ получаем $x \in [-4, -3) \cup (5, \infty)$.

4. Объединяем полученное множество с точкой $x=2$. Точка $x=2$ не входит в найденные интервалы, поэтому добавляем ее отдельно.

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup \{2\} \cup (5, \infty)$.

г)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt[4]{-x^3 + 5x^2 - 8x + 4}}{\sqrt{x^2 - 9|x| + 18}}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным:$-x^3 + 5x^2 - 8x + 4 \ge 0$.Разложим многочлен на множители. Подбором находим корень $x=1$: $-1+5-8+4=0$.После деления на $(x-1)$ получаем $-x^2+4x-4 = -(x^2-4x+4) = -(x-2)^2$.Неравенство принимает вид $-(x-1)(x-2)^2 \ge 0$, или $(x-1)(x-2)^2 \le 0$.Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=2$, что удовлетворяет неравенству ($0 \le 0$).При $x \ne 2$ множитель $(x-2)^2 > 0$, поэтому неравенство сводится к $x-1 \le 0$, то есть $x \le 1$.Решение первого условия: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\}$.

2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:$x^2 - 9|x| + 18 > 0$.Так как $x^2 = |x|^2$, сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.$t^2 - 9t + 18 > 0$.Корни уравнения $t^2 - 9t + 18 = 0$ равны $t_1=3, t_2=6$.Парабола ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $t < 3$ или $t > 6$.Возвращаясь к замене: $|x| < 3$ или $|x| > 6$.$|x| < 3$ эквивалентно $-3 < x < 3$.$|x| > 6$ эквивалентно $x < -6$ или $x > 6$.Решение второго условия: $x \in (-\infty, -6) \cup (-3, 3) \cup (6, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих условий:$((-\infty, 1] \cup \{2\}) \cap ((-\infty, -6) \cup (-3, 3) \cup (6, \infty))$.Пересечение $(-\infty, 1]$ с $(-\infty, -6) \cup (-3, 3) \cup (6, \infty)$ дает $(-\infty, -6) \cup (-3, 1]$.Проверяем точку $\{2\}$. Она принадлежит интервалу $(-3, 3)$, поэтому она также входит в итоговое множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (-3, 1] \cup \{2\}$.