Номер 5.19, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.19, страница 33.

5.19. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = \sqrt[4]{x}$:

а) на отрезке $[0; 1]$;

б) на полуинтервале $[1; 3)$;

в) на отрезке $[5; 16]$;

г) на луче $[16; +\infty)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sqrt[4]{x}$ проанализируем её поведение.

Область определения функции — $x \ge 0$.

Найдем производную функции: $y' = (x^{1/4})' = \frac{1}{4}x^{1/4 - 1} = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Для всех $x$ из области определения, где производная существует ($x > 0$), значение производной $y'$ положительно ($y' > 0$). Это означает, что функция $y = \sqrt[4]{x}$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0; +\infty)$.

Для возрастающей функции её наименьшее значение на некотором промежутке достигается в его левой конечной точке (если она включена в промежуток), а наибольшее — в правой конечной точке (если она включена).

а) на отрезке [0; 1]

Так как функция возрастает на отрезке $[0; 1]$, наименьшее значение она принимает в начале отрезка, а наибольшее — в конце.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = \sqrt[4]{0} = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $1$.

б) на полуинтервале [1; 3)

Функция возрастает на полуинтервале $[1; 3)$. Левая граница $x=1$ принадлежит промежутку, поэтому наименьшее значение достигается в этой точке.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.

Правая граница $x=3$ не принадлежит промежутку. При приближении $x$ к $3$ слева, значения функции $y(x)$ стремятся к $\sqrt[4]{3}$, но никогда не достигают этого значения. Таким образом, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [5; 16]

Функция возрастает на отрезке $[5; 16]$. Наименьшее значение достигается при $x=5$, а наибольшее — при $x=16$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(5) = \sqrt[4]{5}$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(16) = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Ответ: наименьшее значение $\sqrt[4]{5}$, наибольшее значение $2$.

г) на луче [16; +∞)

Функция возрастает на луче $[16; +\infty)$. Левая граница $x=16$ принадлежит промежутку, поэтому в этой точке достигается наименьшее значение.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(16) = \sqrt[4]{16} = 2$.

Так как промежуток неограничен справа, и функция постоянно возрастает, её значения неограниченно растут при $x \to +\infty$. Следовательно, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $2$, наибольшего значения не существует.