Номер 5.18, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.18, страница 33.

5.18. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt[6]{x^3 - 6x^2 + 11x - 6} + \sqrt{6x^3 + 17x^2 + 6x - 8};$

б) $y = \sqrt[4]{\frac{2x^3 - 3x^2 - 3x + 2}{x^3 - 9x^2 + 20x - 12}};$

в) $y = \sqrt[6]{2x^3 - 11x^2 + 18x - 9} - \sqrt[4]{\frac{1}{4x^3 - 11x^2 + 6,5x - 1}};$

г) $y = \sqrt[8]{\frac{6x^3 + 11x^2 - 19x + 6}{x^3 - 8,25x^2 + 14x - 3}};$

а) $y = \sqrt[6]{x^3 - 6x^2 + 11x - 6} + \sqrt{6x^3 + 17x^2 + 6x - 8}$

Область определения функции задается системой неравенств, так как подкоренные выражения корней четной степени должны быть неотрицательны:

$\begin{cases} x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \geq 0 \\ 6x^3 + 17x^2 + 6x - 8 \geq 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \geq 0$.

Найдем корни многочлена $P_1(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Целочисленные корни ищем среди делителей свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

$P_1(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$, следовательно, $x=1$ является корнем.

$P_1(2) = 8 - 6(4) + 11(2) - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0$, следовательно, $x=2$ является корнем.

$P_1(3) = 27 - 6(9) + 11(3) - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0$, следовательно, $x=3$ является корнем.

Таким образом, многочлен раскладывается на множители: $(x-1)(x-2)(x-3) \geq 0$.

Решая методом интервалов, получаем: $x \in [1, 2] \cup [3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $6x^3 + 17x^2 + 6x - 8 \geq 0$.

Найдем корни многочлена $P_2(x) = 6x^3 + 17x^2 + 6x - 8$. Рациональные корни ищем по теореме о рациональных корнях.

$P_2(-2) = 6(-8) + 17(4) + 6(-2) - 8 = -48 + 68 - 12 - 8 = 0$, следовательно, $x=-2$ является корнем.

$P_2(1/2) = 6(1/8) + 17(1/4) + 6(1/2) - 8 = 3/4 + 17/4 + 3 - 8 = 20/4 - 5 = 0$, следовательно, $x=1/2$ является корнем.

$P_2(-4/3) = 6(-64/27) + 17(16/9) + 6(-4/3) - 8 = -128/9 + 272/9 - 8 - 8 = 144/9 - 16 = 16 - 16 = 0$, следовательно, $x=-4/3$ является корнем.

Таким образом, многочлен раскладывается на множители: $6(x+2)(x-1/2)(x+4/3) \geq 0$ или $(x+2)(2x-1)(3x+4) \geq 0$.

Решая методом интервалов (корни: -2, -4/3, 1/2), получаем: $x \in [-2, -4/3] \cup [1/2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение областей решений двух неравенств:

$x \in ([1, 2] \cup [3, +\infty)) \cap ([-2, -4/3] \cup [1/2, +\infty))$.

Пересечение дает: $x \in [1, 2] \cup [3, +\infty)$.

Ответ: $x \in [1, 2] \cup [3, +\infty)$.

б) $y = \sqrt[4]{\frac{2x^3 - 3x^2 - 3x + 2}{x^3 - 9x^2 + 20x - 12}}$

Область определения функции задается неравенством, так как подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$\frac{2x^3 - 3x^2 - 3x + 2}{x^3 - 9x^2 + 20x - 12} \geq 0$

1. Разложим числитель $N(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$ на множители. Корнями являются $x=-1, x=2, x=1/2$.

$N(x) = 2(x+1)(x-2)(x-1/2) = (x+1)(x-2)(2x-1)$.

2. Разложим знаменатель $D(x) = x^3 - 9x^2 + 20x - 12$ на множители. Корнями являются $x=1, x=2, x=6$.

$D(x) = (x-1)(x-2)(x-6)$.

3. Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+1)(x-2)(2x-1)}{(x-1)(x-2)(x-6)} \geq 0$

При $x \neq 2$ можно сократить множитель $(x-2)$. Получим неравенство:

$\frac{(x+1)(2x-1)}{(x-1)(x-6)} \geq 0$

Решаем методом интервалов. Корни числителя: -1, 1/2. Корни знаменателя: 1, 6. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы.

Проверяя знаки на интервалах $(-\infty, -1], [-1, 1/2], [1/2, 1), (1, 6), (6, +\infty)$, получаем:

$x \in (-\infty, -1] \cup [1/2, 1) \cup (6, +\infty)$.

Точка $x=2$, которую мы исключили, не входит в полученное решение, поэтому дополнительно ничего исключать не нужно.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1/2, 1) \cup (6, +\infty)$.

в) $y = \sqrt[6]{2x^3 - 11x^2 + 18x - 9} - \sqrt[4]{\frac{1}{4x^3 - 11x^2 + 6,5x - 1}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} 2x^3 - 11x^2 + 18x - 9 \geq 0 \\ \frac{1}{4x^3 - 11x^2 + 6,5x - 1} \geq 0 \end{cases}$

Второе неравенство равносильно строгому неравенству $4x^3 - 11x^2 + 6,5x - 1 > 0$, так как числитель дроби (1) положителен.

1. Решим первое неравенство: $2x^3 - 11x^2 + 18x - 9 \geq 0$.

Найдем корни многочлена $P_1(x) = 2x^3 - 11x^2 + 18x - 9$. Корнями являются $x=1, x=3/2, x=3$.

Разложение на множители: $2(x-1)(x-3/2)(x-3) \geq 0$ или $(x-1)(2x-3)(x-3) \geq 0$.

Решая методом интервалов, получаем: $x \in [1, 3/2] \cup [3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $4x^3 - 11x^2 + 6,5x - 1 > 0$.

Умножим на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами: $8x^3 - 22x^2 + 13x - 2 > 0$.

Найдем корни многочлена $P_2(x) = 8x^3 - 22x^2 + 13x - 2$. Корнями являются $x=1/4, x=1/2, x=2$.

Разложение на множители: $8(x-1/4)(x-1/2)(x-2) > 0$ или $(4x-1)(2x-1)(x-2) > 0$.

Решая методом интервалов, получаем: $x \in (1/4, 1/2) \cup (2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение областей решений:

$x \in ([1, 1.5] \cup [3, +\infty)) \cap ((0.25, 0.5) \cup (2, +\infty))$.

Интервал $[1, 1.5]$ не пересекается со вторым множеством. Интервал $[3, +\infty)$ полностью содержится в интервале $(2, +\infty)$.

Пересечение: $x \in [3, +\infty)$.

Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

г) $y = \sqrt[8]{\frac{6x^3 + 11x^2 - 19x + 6}{x^3 - 8,25x^2 + 14x - 3}}$

Область определения функции задается неравенством:

$\frac{6x^3 + 11x^2 - 19x + 6}{x^3 - 8,25x^2 + 14x - 3} \geq 0$

1. Разложим числитель $N(x) = 6x^3 + 11x^2 - 19x + 6$ на множители. Корнями являются $x=-3, x=1/2, x=2/3$.

$N(x) = 6(x+3)(x-1/2)(x-2/3) = (x+3)(2x-1)(3x-2)$.

2. Разложим знаменатель $D(x) = x^3 - 8,25x^2 + 14x - 3$ на множители. Умножим на 4 для удобства: $4x^3 - 33x^2 + 56x - 12$. Корнями являются $x=1/4, x=2, x=6$.

$D(x) = (x-1/4)(x-2)(x-6)$.

3. Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+3)(2x-1)(3x-2)}{(x-1/4)(x-2)(x-6)} \geq 0$

Решаем методом интервалов. Корни числителя (включаются): -3, 1/2, 2/3. Корни знаменателя (исключаются): 1/4, 2, 6.

Точки на числовой прямой в порядке возрастания: -3, 1/4, 1/2, 2/3, 2, 6.

Проверяя знаки на интервалах, получаем решение:

$x \in (-\infty, -3] \cup (1/4, 1/2] \cup [2/3, 2) \cup (6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup (1/4, 1/2] \cup [2/3, 2) \cup (6, +\infty)$.