Номер 5.11, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.11, страница 31.

5.11. а) $y = \sqrt[3]{x^2 + 5};$

б) $y = \sqrt[7]{x^3 - 1};$

В) $y = \sqrt[9]{6x - 7};$

Г) $y = \sqrt[5]{2x + 1}.$

а) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[3]{x^2 + 5}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Сначала представим корень в виде степени:

$y = (x^2 + 5)^{1/3}$

Производная сложной функции $f(g(x))$ находится по формуле $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $u^{1/3}$, а внутренняя — $g(x) = x^2 + 5$.

Найдем их производные:

Производная внешней функции: $(u^{1/3})' = \frac{1}{3}u^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}u^{-2/3}$.

Производная внутренней функции: $(x^2 + 5)' = 2x$.

Теперь применим формулу для производной сложной функции:

$y' = \frac{1}{3}(x^2 + 5)^{-2/3} \cdot (2x) = \frac{2x}{3(x^2 + 5)^{2/3}}$

Вернемся к записи с корнем:

$y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 5)^2}}$

Ответ: $y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+5)^2}}$

б) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[7]{x^3 - 1}$ представим ее в виде степенной функции и применим правило дифференцирования сложной функции.

$y = (x^3 - 1)^{1/7}$

Внешняя функция: $u^{1/7}$. Внутренняя функция: $g(x) = x^3 - 1$.

Производная внешней функции: $(u^{1/7})' = \frac{1}{7}u^{1/7 - 1} = \frac{1}{7}u^{-6/7}$.

Производная внутренней функции: $(x^3 - 1)' = 3x^2$.

Применяем цепное правило:

$y' = \frac{1}{7}(x^3 - 1)^{-6/7} \cdot (3x^2) = \frac{3x^2}{7(x^3 - 1)^{6/7}}$

Запишем ответ в виде корня:

$y' = \frac{3x^2}{7\sqrt[7]{(x^3 - 1)^6}}$

Ответ: $y' = \frac{3x^2}{7\sqrt[7]{(x^3-1)^6}}$

в) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[9]{6x - 7}$ представим ее в виде степенной функции и применим правило дифференцирования сложной функции.

$y = (6x - 7)^{1/9}$

Внешняя функция: $u^{1/9}$. Внутренняя функция: $g(x) = 6x - 7$.

Производная внешней функции: $(u^{1/9})' = \frac{1}{9}u^{1/9 - 1} = \frac{1}{9}u^{-8/9}$.

Производная внутренней функции: $(6x - 7)' = 6$.

Применяем цепное правило:

$y' = \frac{1}{9}(6x - 7)^{-8/9} \cdot 6 = \frac{6}{9}(6x - 7)^{-8/9} = \frac{2}{3(6x - 7)^{8/9}}$

Запишем ответ в виде корня:

$y' = \frac{2}{3\sqrt[9]{(6x - 7)^8}}$

Ответ: $y' = \frac{2}{3\sqrt[9]{(6x-7)^8}}$

г) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[5]{2x + 1}$ представим ее в виде степенной функции и применим правило дифференцирования сложной функции.

$y = (2x + 1)^{1/5}$

Внешняя функция: $u^{1/5}$. Внутренняя функция: $g(x) = 2x + 1$.

Производная внешней функции: $(u^{1/5})' = \frac{1}{5}u^{1/5 - 1} = \frac{1}{5}u^{-4/5}$.

Производная внутренней функции: $(2x + 1)' = 2$.

Применяем цепное правило:

$y' = \frac{1}{5}(2x + 1)^{-4/5} \cdot 2 = \frac{2}{5(2x + 1)^{4/5}}$

Запишем ответ в виде корня:

$y' = \frac{2}{5\sqrt[5]{(2x + 1)^4}}$

Ответ: $y' = \frac{2}{5\sqrt[5]{(2x+1)^4}}$