Номер 5.8, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.8, страница 31.

5.8. a) $y = \sqrt{\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}}$;

б) $y = \sqrt[3]{\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}}$;

в) $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 + 7x + 12}{x + 3}}$;

г) $y = \sqrt[5]{\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}}$.

а) $y = \sqrt{\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}}$

Для нахождения области определения данной функции необходимо учесть два условия. Во-первых, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Во-вторых, выражение под корнем четной степени (в данном случае, квадратным) должно быть неотрицательным.

1. Условие на знаменатель: $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$.

2. Условие на подкоренное выражение: $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2} \geq 0$.

Для решения неравенства разложим числитель $x^2 - x - 2$ на множители. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Следовательно, корни это $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Подставим это в неравенство:

$\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} \geq 0$

Поскольку мы уже установили, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$.

В результате получаем более простое неравенство:

$x + 1 \geq 0$

$x \geq -1$

Теперь объединим оба условия: $x \geq -1$ и $x \neq 2$. Это означает, что в область определения входят все числа из промежутка $[-1, \infty)$, за исключением точки $x=2$.

Ответ: $x \in [-1, 2) \cup (2, \infty)$.

б) $y = \sqrt[3]{\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}}$

Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного числа. Поэтому единственное ограничение для области определения этой функции связано со знаменателем дроби, который не должен равняться нулю.

Условие на знаменатель:

$x - 4 \neq 0$

$x \neq 4$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме 4.

Для наглядности можно упростить подкоренное выражение. Разложим числитель $x^2 - 5x + 4$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Тогда $\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4} = \frac{(x - 1)(x - 4)}{x - 4}$. При $x \neq 4$ это выражение можно сократить до $x - 1$.

Функция сводится к $y = \sqrt[3]{x-1}$ при условии $x \neq 4$. Так как $\sqrt[3]{x-1}$ определена для всех действительных $x$, единственным ограничением остается $x \neq 4$.

Ответ: $x \in (-\infty, 4) \cup (4, \infty)$.

в) $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 + 7x + 12}{x + 3}}$

Как и в пункте а), область определения функции определяется двумя условиями: знаменатель не равен нулю, и подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четный показатель (4).

1. Условие на знаменатель: $x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

2. Условие на подкоренное выражение: $\frac{x^2 + 7x + 12}{x + 3} \geq 0$.

Решим неравенство. Разложим числитель $x^2 + 7x + 12$ на множители. Для уравнения $x^2 + 7x + 12 = 0$ по теореме Виета сумма корней равна -7, а произведение 12. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$.

Значит, $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$.

Подставим в неравенство:

$\frac{(x + 3)(x + 4)}{x + 3} \geq 0$

При условии $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на $(x + 3)$.

Получаем:

$x + 4 \geq 0$

$x \geq -4$

Объединяя условия $x \geq -4$ и $x \neq -3$, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (-3, \infty)$.

г) $y = \sqrt[5]{\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}}$

Поскольку корень имеет нечетную степень (5), он определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Таким образом, единственное ограничение на область определения функции накладывает знаменатель дроби.

Условие на знаменатель:

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

Область определения функции — это все действительные числа, за исключением 3.

Упростим подкоренное выражение для проверки. Разложим на множители числитель $x^2 - x - 6$. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Тогда $\frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3}$. При $x \neq 3$ выражение равно $x + 2$.

Функция может быть записана как $y = \sqrt[5]{x+2}$ при условии $x \neq 3$. Выражение $\sqrt[5]{x+2}$ определено для всех $x$, поэтому единственным ограничением является $x \neq 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, \infty)$.