Номер 5.1, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.1, страница 30.

Постройте график функции:

5.1. а) $y = \sqrt[3]{x};$

б) $y = \sqrt[6]{x};$

в) $y = \sqrt[4]{x};$

г) $y = \sqrt[5]{x}.$

а) $y = \sqrt[3]{x}$

Это степенная функция $y=x^{1/3}$. Проанализируем ее свойства для построения графика.

1. Область определения: кубический корень (корень нечетной степени) определен для любых действительных чисел. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: значения функции также могут быть любыми действительными числами. Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Четность/нечетность: Проверим, является ли функция четной или нечетной, подставив $-x$ вместо $x$: $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
4. Точки пересечения с осями координат:
   • При $x=0$, $y=\sqrt[3]{0}=0$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.
   • При $y=0$, $\sqrt[3]{x}=0$, откуда $x=0$. Точка пересечения с осью Ox: $(0; 0)$.
   График проходит через начало координат.
5. Ключевые точки: Вычислим значения функции в нескольких точках, чтобы уточнить вид графика. Удобно выбирать значения $x$, из которых легко извлекается кубический корень.
   • $x=1$, $y=\sqrt[3]{1}=1$ → точка $(1; 1)$
   • $x=8$, $y=\sqrt[3]{8}=2$ → точка $(8; 2)$
   • $x=-1$, $y=\sqrt[3]{-1}=-1$ → точка $(-1; -1)$
   • $x=-8$, $y=\sqrt[3]{-8}=-2$ → точка $(-8; -2)$
   • $x=1/8$, $y=\sqrt[3]{1/8}=1/2$ → точка $(1/8; 1/2)$
6. Поведение функции: Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. График похож на график функции $y=x^3$, но "уложенный на бок".

Построение графика: На координатной плоскости отмечаем найденные точки: $(-8; -2)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(8; 2)$. Соединяем их плавной линией. Учитывая нечетность, ветвь графика в третьей четверти является симметричным отражением ветви в первой четверти относительно начала координат. График имеет вертикальную касательную в точке $(0;0)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-8; -2)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(8; 2)$. Функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

---

б) $y = \sqrt[6]{x}$

Это степенная функция $y=x^{1/6}$. Проанализируем ее свойства.

1. Область определения: корень четной степени (6-й) определен только для неотрицательных чисел. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.
2. Область значений: значение корня четной степени всегда неотрицательно. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Четность/нечетность: так как область определения несимметрична относительно нуля, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
4. Точки пересечения с осями координат:
   • При $x=0$, $y=\sqrt[6]{0}=0$. Точка пересечения с осями (и начало графика): $(0; 0)$.
5. Ключевые точки:
   • $x=1$, $y=\sqrt[6]{1}=1$ → точка $(1; 1)$
   • $x=64$, $y=\sqrt[6]{64}=2$ → точка $(64; 2)$
   • $x=1/64$, $y=\sqrt[6]{1/64}=1/2$ → точка $(1/64; 1/2)$
6. Поведение функции: Функция $y = \sqrt[6]{x}$ является возрастающей на своей области определения. График представляет собой ветвь, выходящую из начала координат и расположенную в первой координатной четверти.

Построение графика: Отмечаем на плоскости точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(64; 2)$. Соединяем их плавной, выпуклой вверх кривой. График начинается в точке $(0;0)$ и медленно возрастает. Он похож на график квадратного корня $y=\sqrt{x}$, но растет еще медленнее при $x>1$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[6]{x}$ — это кривая, расположенная в первой координатной четверти, начинающаяся в точке $(0;0)$ и проходящая через точки $(1; 1)$ и $(64; 2)$. Функция возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$.

---

в) $y = \sqrt[4]{x}$

Это степенная функция $y=x^{1/4}$. Свойства этой функции аналогичны свойствам функции $y = \sqrt[6]{x}$, так как показатель корня (4) является четным числом.

1. Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$, так как корень четной степени.
2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Четность/нечетность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
4. Точки пересечения с осями координат: единственная точка пересечения — начало координат $(0; 0)$.
5. Ключевые точки:
   • $x=1$, $y=\sqrt[4]{1}=1$ → точка $(1; 1)$
   • $x=16$, $y=\sqrt[4]{16}=2$ → точка $(16; 2)$
   • $x=81$, $y=\sqrt[4]{81}=3$ → точка $(81; 3)$
   • $x=1/16$, $y=\sqrt[4]{1/16}=1/2$ → точка $(1/16; 1/2)$
6. Поведение функции: Функция возрастающая на $[0; +\infty)$.

Построение графика: Отмечаем точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(16; 2)$. Соединяем их плавной кривой. График расположен в первой четверти. Он растет быстрее, чем $y=\sqrt[6]{x}$, но медленнее, чем $y=\sqrt{x}$ (при $x>1$). Все эти графики проходят через точки $(0;0)$ и $(1;1)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x}$ — это кривая, расположенная в первой координатной четверти, которая начинается в точке $(0;0)$ и проходит через точки $(1; 1)$ и $(16; 2)$. Функция возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$.

---

г) $y = \sqrt[5]{x}$

Это степенная функция $y=x^{1/5}$. Свойства этой функции аналогичны свойствам функции $y = \sqrt[3]{x}$, так как показатель корня (5) является нечетным числом.

1. Область определения: корень нечетной степени определен для любых действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Четность/нечетность: Проверим функцию: $y(-x) = \sqrt[5]{-x} = -\sqrt[5]{x} = -y(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
4. Точки пересечения с осями координат: единственная точка пересечения — $(0; 0)$.
5. Ключевые точки:
   • $x=1$, $y=\sqrt[5]{1}=1$ → точка $(1; 1)$
   • $x=32$, $y=\sqrt[5]{32}=2$ → точка $(32; 2)$
   • $x=-1$, $y=\sqrt[5]{-1}=-1$ → точка $(-1; -1)$
   • $x=-32$, $y=\sqrt[5]{-32}=-2$ → точка $(-32; -2)$
6. Поведение функции: Функция возрастает на всей области определения.

Построение графика: Отмечаем точки $(-32; -2)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(32; 2)$. Соединяем их плавной линией, симметричной относительно начала координат. График имеет характерную "S"-образную форму, как и у кубического корня, но при $x > 1$ он растет медленнее, чем $y=\sqrt[3]{x}$, а на интервале $(0, 1)$ он находится выше графика $y=\sqrt[3]{x}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[5]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-32; -2)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(32; 2)$. Функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.