Номер 4.24, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.24, страница 30.

○4.24. Расположите числа в порядке убывания:

a) $-1, \sqrt[3]{-5}, \sqrt[4]{0,1};$

б) $0, \sqrt[3]{-0,25}, \sqrt[5]{-29};$

в) $-2, \sqrt[5]{-1,5}, \sqrt[3]{-9};$

г) $1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{-2}.$

а)

Чтобы расположить числа $-1, \sqrt[3]{-5}, \sqrt[4]{0,1}$ в порядке убывания, сравним их значения.

1. Определим знаки чисел.

• $\sqrt[4]{0,1}$ — корень четной степени из положительного числа, следовательно, это число положительное.
• $-1$ — отрицательное число.
• $\sqrt[3]{-5}$ — корень нечетной степени из отрицательного числа, следовательно, это число отрицательное.

2. Самое большое число — единственное положительное число $\sqrt[4]{0,1}$.

3. Теперь сравним два отрицательных числа: $-1$ и $\sqrt[3]{-5}$. Для этого сравним их модули: $|-1|=1$ и $|\sqrt[3]{-5}|=\sqrt[3]{5}$.

4. Чтобы сравнить $1$ и $\sqrt[3]{5}$, возведем оба числа в 3-ю степень: $1^3 = 1$
$(\sqrt[3]{5})^3 = 5$

5. Так как $5 > 1$, то $\sqrt[3]{5} > 1$.

6. Среди отрицательных чисел то число меньше, модуль которого больше. Следовательно, $-\sqrt[3]{5} < -1$, то есть $\sqrt[3]{-5} < -1$.

7. Располагаем числа в порядке от большего к меньшему: $\sqrt[4]{0,1} > -1 > \sqrt[3]{-5}$.

Ответ: $\sqrt[4]{0,1}; -1; \sqrt[3]{-5}$.

б)

Чтобы расположить числа $0, \sqrt[3]{-0,25}, \sqrt[5]{-29}$ в порядке убывания, сравним их значения.

1. Определим знаки чисел.

• $0$ — не является ни положительным, ни отрицательным.
• $\sqrt[3]{-0,25}$ — отрицательное число.
• $\sqrt[5]{-29}$ — отрицательное число.

2. Число $0$ больше любого отрицательного числа, значит, $0$ — самое большое число.

3. Сравним отрицательные числа $\sqrt[3]{-0,25}$ и $\sqrt[5]{-29}$. Для этого сравним их модули: $|\sqrt[3]{-0,25}|=\sqrt[3]{0,25}$ и $|\sqrt[5]{-29}|=\sqrt[5]{29}$.

4. Чтобы сравнить $\sqrt[3]{0,25}$ и $\sqrt[5]{29}$, возведем оба числа в 15-ю степень (наименьшее общее кратное показателей 3 и 5):
$(\sqrt[3]{0,25})^{15} = (0,25)^{15/3} = (0,25)^5 = (\frac{1}{4})^5 = \frac{1}{1024}$
$(\sqrt[5]{29})^{15} = 29^{15/5} = 29^3 = 24389$

5. Так как $24389 > \frac{1}{1024}$, то $\sqrt[5]{29} > \sqrt[3]{0,25}$.

6. Для отрицательных чисел порядок обратный: $\sqrt[5]{-29} < \sqrt[3]{-0,25}$.

7. Располагаем числа в порядке от большего к меньшему: $0 > \sqrt[3]{-0,25} > \sqrt[5]{-29}$.

Ответ: $0; \sqrt[3]{-0,25}; \sqrt[5]{-29}$.

в)

Чтобы расположить числа $-2, \sqrt[5]{-1,5}, \sqrt[3]{-9}$ в порядке убывания, сравним их значения. Все три числа являются отрицательными.

1. Сравним модули этих чисел: $|-2|=2$, $|\sqrt[5]{-1,5}|=\sqrt[5]{1,5}$ и $|\sqrt[3]{-9}|=\sqrt[3]{9}$.

2. Чтобы сравнить эти числа, представим $2$ в виде корней с такими же показателями: $2 = \sqrt[5]{2^5} = \sqrt[5]{32}$
$2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$

3. Сравним $2$ и $\sqrt[5]{1,5}$. Так как $32 > 1,5$, то $\sqrt[5]{32} > \sqrt[5]{1,5}$, значит, $2 > \sqrt[5]{1,5}$.

4. Сравним $2$ и $\sqrt[3]{9}$. Так как $8 < 9$, то $\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{9}$, значит, $2 < \sqrt[3]{9}$.

5. Объединяя результаты, получаем порядок для модулей: $\sqrt[5]{1,5} < 2 < \sqrt[3]{9}$.

6. Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, порядок будет обратным: $-\sqrt[5]{1,5} > -2 > -\sqrt[3]{9}$.

7. То есть, $\sqrt[5]{-1,5} > -2 > \sqrt[3]{-9}$.

Ответ: $\sqrt[5]{-1,5}; -2; \sqrt[3]{-9}$.

г)

Чтобы расположить числа $1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{-2}$ в порядке убывания, сравним их значения.

1. Определим знаки чисел.

• $1$ — положительное число.
• $\sqrt[3]{2}$ — положительное число.
• $\sqrt[3]{-2}$ — отрицательное число.

2. Отрицательное число $\sqrt[3]{-2}$ является наименьшим из трех.

3. Сравним положительные числа $1$ и $\sqrt[3]{2}$. Возведем их в 3-ю степень:
$1^3 = 1$
$(\sqrt[3]{2})^3 = 2$

4. Так как $2 > 1$, то $\sqrt[3]{2} > 1$.

5. Располагаем числа в порядке от большего к меньшему: $\sqrt[3]{2} > 1 > \sqrt[3]{-2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2}; 1; \sqrt[3]{-2}$.