Номер 5.25, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.25, страница 33.

5.25. a) $y = \sqrt{35 + 2x - x^2}$;

б) $y = \sqrt[6]{2x^2 - 4x - 1}$;

В) $y = \sqrt[4]{12 - 4x - x^2}$;

Г) $y = \sqrt[8]{x^2 + 2x + 3}$.

Для нахождения области определения каждой из предложенных функций необходимо учесть, что выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным.

а) $y = \sqrt{35 + 2x - x^2}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень квадратный (четной степени).

Решим неравенство:

$35 + 2x - x^2 \geq 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 35 \leq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7$

Графиком функции $f(x) = x^2 - 2x - 35$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение $x^2 - 2x - 35$ принимает неположительные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-5; 7]$.

Ответ: $x \in [-5; 7]$.

б) $y = \sqrt[6]{2x^2 - 4x - 1}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень 6-й степени (четной).

Решим неравенство:

$2x^2 - 4x - 1 \geq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 4x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 - 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$

Графиком функции $f(x) = 2x^2 - 4x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение $2x^2 - 4x - 1$ принимает неотрицательные значения на промежутках вне отрезка между корнями.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; \frac{2 - \sqrt{6}}{2}] \cup [\frac{2 + \sqrt{6}}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2 - \sqrt{6}}{2}] \cup [\frac{2 + \sqrt{6}}{2}; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[4]{12 - 4x - x^2}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень 4-й степени (четной).

Решим неравенство:

$12 - 4x - x^2 \geq 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 4x - 12 \leq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2$

Графиком функции $f(x) = x^2 + 4x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение $x^2 + 4x - 12$ принимает неположительные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-6; 2]$.

Ответ: $x \in [-6; 2]$.

г) $y = \sqrt[8]{x^2 + 2x + 3}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень 8-й степени (четной).

Решим неравенство:

$x^2 + 2x + 3 \geq 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 3$. Найдем дискриминант соответствующего уравнения $x^2 + 2x + 3 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент (при $x^2$) положителен ($a = 1 > 0$), то парабола $y = x^2 + 2x + 3$ полностью лежит выше оси абсцисс и не имеет точек пересечения с ней. Это означает, что выражение $x^2 + 2x + 3$ положительно при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 + 2x + 3 \geq 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.