Номер 5.27, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.27, страница 34.

Решите графически уравнение:

5.27. а) $\sqrt{x} = -x$;

б) $\sqrt[3]{x} = 7 - 6x$;

в) $\sqrt[4]{x} = 2 - x$;

г) $\sqrt[5]{x} = -x^2$.

a) Для графического решения уравнения $\sqrt{x} = -x$ построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -x$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2). Область определения функции: $x \ge 0$.

График функции $y = -x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой второй и четвертой координатных четвертей.

Из графика видно, что функции пересекаются в одной точке — начале координат (0, 0). Абсцисса этой точки и является решением уравнения.

Проверка: $\sqrt{0} = -0$, что равносильно $0 = 0$. Равенство верное.

Ответ: $x = 0$.

б) Для решения уравнения $\sqrt[3]{x} = 7 - 6x$ построим графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = 7 - 6x$.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кубический корень, функция возрастает на всей числовой оси и проходит через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).

График функции $y = 7 - 6x$ — это прямая, убывающая на всей числовой оси. Для её построения найдём две точки, например: если $x = 0$, то $y = 7$; если $x = 1$, то $y = 1$.

На графике видно, что прямая и кривая пересекаются в одной точке с координатами (1, 1). Так как одна функция является возрастающей, а другая — убывающей, они могут пересечься только один раз.

Проверка: $\sqrt[3]{1} = 7 - 6 \cdot 1$, что равносильно $1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $x = 1$.

в) Для решения уравнения $\sqrt[4]{x} = 2 - x$ построим графики функций $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = 2 - x$.

График функции $y = \sqrt[4]{x}$ определён при $x \ge 0$ и расположен в первой координатной четверти. Он проходит через точки (0, 0), (1, 1), (16, 2). Функция является возрастающей.

График функции $y = 2 - x$ — это прямая, убывающая на всей числовой оси. Она пересекает оси координат в точках (0, 2) и (2, 0).

Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты (1, 1). Поскольку одна функция возрастает на своей области определения, а другая убывает, они могут иметь не более одной точки пересечения.

Проверка: $\sqrt[4]{1} = 2 - 1$, что равносильно $1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $x = 1$.

г) Для решения уравнения $\sqrt[5]{x} = -x^2$ построим графики функций $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = -x^2$.

График функции $y = \sqrt[5]{x}$ — корень пятой степени, функция возрастает на всей числовой оси и симметрична относительно начала координат. Она проходит через точки (-1, -1), (0, 0), (1, 1).

График функции $y = -x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 0).

Построив графики, мы видим две точки пересечения.

1. Точка (0, 0). Проверка: $\sqrt[5]{0} = -0^2 \Rightarrow 0 = 0$. Верно.

2. Точка (-1, -1). Проверка: $\sqrt[5]{-1} = -(-1)^2 \Rightarrow -1 = -1$. Верно.

При $x > 0$, значения функции $y = \sqrt[5]{x}$ положительны, а значения функции $y = -x^2$ отрицательны, поэтому других пересечений, кроме $x=0$, нет. При $x < -1$ парабола $y = -x^2$ убывает быстрее, чем кривая $y = \sqrt[5]{x}$, поэтому других пересечений нет.

Ответ: $x = -1; x = 0$.