Номер 5.26, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.26, страница 33.

5.26. Найдите, если это возможно, наименьшее и (или) наибольшее целое число, принадлежащее области значений функции:

а) $y = \sqrt[4]{16 + 4x - 4x^2}$;

б) $y = \sqrt[5]{x^2 - 4x + 35}$;

в) $y = \sqrt[6]{3x^2 - 6x - 4}$;

г) $y = \sqrt[3]{1 - x^2 + 6x}$.

а) $y = \sqrt[4]{16 + 4x - 4x^2}$

Для нахождения области значений функции необходимо сначала найти область значений подкоренного выражения $f(x) = 16 + 4x - 4x^2$. Так как корень четной степени (4-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $16 + 4x - 4x^2 \ge 0$.

Подкоренное выражение $f(x) = -4x^2 + 4x + 16$ является квадратичной функцией. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-4 < 0$). Следовательно, функция $f(x)$ имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координата $x_v$ вершины параболы находится по формуле $x_v = -b / (2a)$:
$x_v = -4 / (2 \cdot (-4)) = -4 / (-8) = 1/2$.

Наибольшее значение подкоренного выражения равно значению функции $f(x)$ в точке $x_v = 1/2$:
$f_{max} = f(1/2) = -4(1/2)^2 + 4(1/2) + 16 = -4(1/4) + 2 + 16 = -1 + 2 + 16 = 17$.

Таким образом, с учетом условия $f(x) \ge 0$, область значений подкоренного выражения — это отрезок $[0, 17]$.

Функция $y = \sqrt[4]{z}$ является возрастающей на своей области определения. Следовательно, область значений исходной функции $y$ — это отрезок $[\sqrt[4]{0}, \sqrt[4]{17}]$, то есть $[0, \sqrt[4]{17}]$.

Теперь найдем целые числа, принадлежащие этому отрезку. Наименьшее значение функции равно 0, что является целым числом. Для нахождения наибольшего целого числа оценим $\sqrt[4]{17}$. Поскольку $2^4 = 16$ и $3^4 = 81$, то $2 < \sqrt[4]{17} < 3$. Значит, наибольшее целое число в отрезке $[0, \sqrt[4]{17}]$ равно 2.

Ответ: наименьшее целое число 0, наибольшее целое число 2.

б) $y = \sqrt[5]{x^2 - 4x + 35}$

Поскольку корень нечетной степени (5-й), подкоренное выражение $g(x) = x^2 - 4x + 35$ может принимать любые действительные значения. Область значений функции $y$ определяется областью значений функции $g(x)$.

Функция $g(x) = x^2 - 4x + 35$ — квадратичная, её график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $1 > 0$). Следовательно, функция $g(x)$ имеет наименьшее значение.

Найдем вершину параболы: $x_v = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$.

Наименьшее значение подкоренного выражения равно:
$g_{min} = g(2) = 2^2 - 4(2) + 35 = 4 - 8 + 35 = 31$.

Область значений подкоренного выражения — $[31, +\infty)$.

Функция $y = \sqrt[5]{z}$ является возрастающей. Таким образом, область значений исходной функции $y$ — это промежуток $[\sqrt[5]{31}, +\infty)$.

Найдем наименьшее целое число в этом промежутке. Оценим $\sqrt[5]{31}$. Так как $1^5 = 1$ и $2^5 = 32$, то $1 < \sqrt[5]{31} < 2$. Следовательно, наименьшее целое число, входящее в область значений функции, — это 2. Наибольшего целого числа не существует, так как область значений не ограничена сверху.

Ответ: наименьшее целое число 2, наибольшего не существует.

в) $y = \sqrt[6]{3x^2 - 6x - 4}$

Так как корень четной степени (6-й), подкоренное выражение $h(x) = 3x^2 - 6x - 4$ должно быть неотрицательным: $h(x) \ge 0$.

Рассмотрим функцию $h(x) = 3x^2 - 6x - 4$. Это парабола с ветвями вверх ($a=3>0$), которая имеет наименьшее значение в своей вершине.
$x_v = -(-6) / (2 \cdot 3) = 1$.
$h_{min} = h(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 4 = -7$.

Минимальное значение $h(x)$ равно -7, но для существования функции $y$ требуется $h(x) \ge 0$. Это означает, что не все значения, принимаемые параболой, допустимы. Область значений подкоренного выражения, с учетом ОДЗ, будет $[0, +\infty)$.

Следовательно, область значений функции $y = \sqrt[6]{h(x)}$ будет $[\sqrt[6]{0}, +\infty)$, то есть $[0, +\infty)$.

Наименьшее целое число в этой области значений — 0. Наибольшего целого числа не существует.

Ответ: наименьшее целое число 0, наибольшего не существует.

г) $y = \sqrt[3]{1 - x^2 + 6x}$

Так как корень нечетной степени (3-й), подкоренное выражение $k(x) = 1 - x^2 + 6x$ может принимать любые действительные значения. Область значений $y$ определяется областью значений $k(x)$.

Подкоренное выражение $k(x) = -x^2 + 6x + 1$ — это парабола с ветвями вниз ($a=-1<0$), которая имеет наибольшее значение в своей вершине.

Найдем вершину параболы: $x_v = -6 / (2 \cdot (-1)) = 3$.

Наибольшее значение подкоренного выражения:
$k_{max} = k(3) = -(3)^2 + 6(3) + 1 = -9 + 18 + 1 = 10$.

Область значений подкоренного выражения — $(-\infty, 10]$.

Функция $y = \sqrt[3]{z}$ является возрастающей, поэтому область значений исходной функции $y$ — это промежуток $(-\infty, \sqrt[3]{10}]$.

Найдем наибольшее целое число в этом промежутке. Оценим $\sqrt[3]{10}$. Так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то $2 < \sqrt[3]{10} < 3$. Следовательно, наибольшее целое число, входящее в область значений, — это 2. Наименьшего целого числа не существует, так как область значений не ограничена снизу.

Ответ: наибольшее целое число 2, наименьшего не существует.