Страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3.31. Докажите, что если функция $y = f(x)$ выпукла вверх (вниз) на $\mathbb{R}$, то уравнение $f(x) = ax + b$ имеет не более двух корней, и решите уравнение:

a) $x^4 = 15x - 14$;

б) $x^{10} = 1023x - 1022$.

Сначала докажем общее утверждение. Пусть функция $y = f(x)$ является строго выпуклой вниз (convex) на всей числовой прямой $R$. Это означает, что для любых двух различных точек $x_1$ и $x_2$ из $R$ и любого числа $t \in (0, 1)$ выполняется строгое неравенство $f(tx_1 + (1-t)x_2) < tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$.

Рассмотрим уравнение $f(x) = ax + b$. Его корни являются нулями функции $g(x) = f(x) - (ax + b)$. Покажем, что функция $g(x)$ также является строго выпуклой вниз. Функция $h(x) = -ax - b$ является линейной, а следовательно, выпуклой (для нее неравенство выпуклости выполняется как равенство). Сумма строго выпуклой функции $f(x)$ и выпуклой функции $h(x)$ является строго выпуклой функцией. Таким образом, $g(x)$ — строго выпуклая вниз функция.

Предположим от противного, что уравнение $g(x) = 0$ имеет по крайней мере три различных корня: $x_1 < x_2 < x_3$. Это означает, что $g(x_1) = g(x_2) = g(x_3) = 0$. Поскольку $x_1 < x_2 < x_3$, точку $x_2$ можно представить как выпуклую комбинацию $x_1$ и $x_3$: $x_2 = t x_3 + (1-t) x_1$ для некоторого $t = \frac{x_2 - x_1}{x_3 - x_1} \in (0, 1)$. Из определения строгой выпуклости для функции $g(x)$ следует: $g(x_2) = g(t x_3 + (1-t) x_1) < t g(x_3) + (1-t) g(x_1)$. Подставляя известные значения $g(x_1)=0$, $g(x_2)=0$, $g(x_3)=0$, получаем: $0 < t \cdot 0 + (1-t) \cdot 0$, что приводит к неверному неравенству $0 < 0$.

Полученное противоречие означает, что наше предположение о существовании трех различных корней неверно. Следовательно, уравнение $g(x) = 0$, а значит и исходное уравнение $f(x) = ax + b$, имеет не более двух корней.

Аналогичное доказательство проводится для функции, выпуклой вверх (concave). В этом случае функция $g(x)$ будет строго выпуклой вверх, и из определения ($g(x_2) > t g(x_3) + (1-t) g(x_1)$) мы придем к противоречию $0 > 0$. Таким образом, утверждение доказано.

Теперь решим уравнения, используя этот результат.

а) $x^4 = 15x - 14$

Данное уравнение имеет вид $f(x) = ax + b$, где $f(x) = x^4$, $a = 15$, $b = -14$. Исследуем функцию $f(x) = x^4$ на выпуклость. Найдем ее вторую производную: $f'(x) = 4x^3$ $f''(x) = 12x^2$ Так как $f''(x) = 12x^2 \ge 0$ для всех $x \in R$ и $f''(x)=0$ только в одной точке $x=0$, функция $f(x) = x^4$ является строго выпуклой вниз на $R$. Согласно доказанному выше, это уравнение может иметь не более двух корней.

Найдем корни методом подбора. Проверим небольшие целые значения. При $x=1$: левая часть $1^4 = 1$, правая часть $15 \cdot 1 - 14 = 1$. Равенство $1=1$ верно, следовательно, $x=1$ — корень уравнения. При $x=2$: левая часть $2^4 = 16$, правая часть $15 \cdot 2 - 14 = 30 - 14 = 16$. Равенство $16=16$ верно, следовательно, $x=2$ — корень уравнения.

Мы нашли два различных корня. Поскольку их общее число не может превышать двух, это все решения уравнения.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 2$.

б) $x^{10} = 1023x - 1022$

Уравнение имеет вид $f(x) = ax + b$, где $f(x) = x^{10}$, $a = 1023$, $b = -1022$. Исследуем функцию $f(x) = x^{10}$ на выпуклость, найдя ее вторую производную: $f'(x) = 10x^9$ $f''(x) = 90x^8$ Так как $f''(x) = 90x^8 \ge 0$ для всех $x \in R$ и $f''(x)=0$ только в точке $x=0$, функция $f(x) = x^{10}$ является строго выпуклой вниз на $R$. Следовательно, данное уравнение имеет не более двух корней.

Найдем корни подбором. При $x=1$: левая часть $1^{10} = 1$, правая часть $1023 \cdot 1 - 1022 = 1$. Равенство $1=1$ верно, значит, $x=1$ — корень. Проверим $x=2$: Левая часть: $2^{10} = 1024$. Правая часть: $1023 \cdot 2 - 1022 = 2046 - 1022 = 1024$. Равенство $1024=1024$ верно, значит, $x=2$ также является корнем.

Мы нашли два различных корня. В силу доказанного утверждения, других корней у уравнения нет.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 2$.

3.32. Найдите, если это возможно, такие целые числа a, b, c и d, что для всех значений x выполняется равенство:

а) $x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$;

б) $x^4 + x^2 - 4x - 3 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$;

в) $x^4 - 5x^2 + 6x - 5 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$;

г) $x^4 - 5x - 6 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$.

а)

Для того чтобы найти целые числа $a, b, c$ и $d$, раскроем скобки в правой части равенства и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$.

$(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$

Сравнивая это выражение с многочленом $x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 1$, получаем систему уравнений:

$a+c = 1$ (коэффициент при $x^3$)
$b+d+ac = -4$ (коэффициент при $x^2$)
$ad+bc = -1$ (коэффициент при $x$)
$bd = 1$ (свободный член)

Поскольку $a, b, c, d$ — целые числа, из уравнения $bd=1$ следует, что возможны два случая: $b=1, d=1$ или $b=-1, d=-1$.

Случай 1: $b=1, d=1$.
Подставим эти значения в третье уравнение: $a(1)+c(1) = -1$, то есть $a+c=-1$.
Однако из первого уравнения системы мы знаем, что $a+c=1$. Получаем противоречие $1=-1$. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: $b=-1, d=-1$.
Подставим эти значения в третье уравнение: $a(-1)+c(-1) = -1$, то есть $-a-c=-1$, или $a+c=1$. Это соответствует первому уравнению системы.
Теперь подставим $b$ и $d$ во второе уравнение: $(-1)+(-1)+ac = -4$, откуда $-2+ac=-4$ и $ac=-2$.
Таким образом, для $a$ и $c$ имеем систему:
$a+c = 1$
$ac = -2$
Согласно теореме Виета, $a$ и $c$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+c)t + ac = 0$, то есть $t^2 - t - 2 = 0$.
Корни этого уравнения: $t = \frac{1 \pm \sqrt{1^2-4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$.
Получаем $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Так как $a$ и $c$ должны быть целыми, мы можем выбрать $a=2, c=-1$ или $a=-1, c=2$. Оба варианта подходят.
Выберем один из вариантов: $a=2, c=-1$.
Итак, мы нашли набор целых чисел: $a=2, b=-1, c=-1, d=-1$.

Ответ: $a=2, b=-1, c=-1, d=-1$.

б)

Раскроем скобки: $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$.

Сравнивая с многочленом $x^4 + x^2 - 4x - 3$, получаем систему:

$a+c = 0$
$b+d+ac = 1$
$ad+bc = -4$
$bd = -3$

Из первого уравнения $c=-a$. Из четвертого, так как $b$ и $d$ целые, возможны следующие пары $(b, d)$: $(1, -3), (-1, 3), (3, -1), (-3, 1)$.

Проверим эти случаи.
Случай 1: $b=1, d=-3$.
Подставляем во второе уравнение: $1+(-3)+a(-a) = 1 \implies -2-a^2=1 \implies a^2=-3$. Нет целых решений для $a$.
Случай 2: $b=-1, d=3$.
Подставляем во второе уравнение: $-1+3+a(-a) = 1 \implies 2-a^2=1 \implies a^2=1$. Отсюда $a=1$ или $a=-1$.
Если $a=1$, то $c=-1$. Проверяем третье уравнение: $ad+bc = (1)(3)+(-1)(-1) = 3+1 = 4$. Нам нужно $-4$, так что это не подходит.
Если $a=-1$, то $c=1$. Проверяем третье уравнение: $ad+bc = (-1)(3)+(-1)(1) = -3-1 = -4$. Это соответствует условию.
Таким образом, мы нашли решение: $a=-1, b=-1, c=1, d=3$.

Ответ: $a=-1, b=-1, c=1, d=3$.

в)

Раскроем скобки: $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$.

Сравнивая с многочленом $x^4 - 5x^2 + 6x - 5$, получаем систему:

$a+c = 0$
$b+d+ac = -5$
$ad+bc = 6$
$bd = -5$

Из $a+c=0$ следует $c=-a$. Из $bd=-5$ для целых $b$ и $d$ возможны пары: $(1, -5), (-1, 5), (5, -1), (-5, 1)$.

Проверим эти случаи.
Случай 1: $b=1, d=-5$.
Подставляем во второе уравнение: $1+(-5)+a(-a) = -5 \implies -4-a^2=-5 \implies a^2=1$. Отсюда $a=1$ или $a=-1$.
Если $a=1$, то $c=-1$. Проверяем третье уравнение: $ad+bc = (1)(-5)+(1)(-1) = -5-1 = -6$. Нам нужно $6$, не подходит.
Если $a=-1$, то $c=1$. Проверяем третье уравнение: $ad+bc = (-1)(-5)+(1)(1) = 5+1 = 6$. Это соответствует условию.
Таким образом, мы нашли решение: $a=-1, b=1, c=1, d=-5$.

Ответ: $a=-1, b=1, c=1, d=-5$.

г)

Раскроем скобки: $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$.

Сравнивая с многочленом $x^4 - 5x - 6$, получаем систему:

1) $a+c = 0$
2) $b+d+ac = 0$
3) $ad+bc = -5$
4) $bd = -6$

Из уравнения (1) следует $c=-a$. Подставим это в уравнения (2) и (3):
2) $b+d-a^2 = 0 \implies a^2 = b+d$
3) $ad+b(-a) = -5 \implies a(d-b) = -5$
Так как $a, b, d$ — целые числа, из уравнения $a(d-b)=-5$ следует, что $a$ является делителем числа $-5$. Таким образом, $a \in \{1, -1, 5, -5\}$.

Рассмотрим возможные значения $a$.
Случай 1: $a=1$.
Тогда из $a(d-b)=-5$ получаем $d-b=-5$.
Из $a^2=b+d$ получаем $1^2=b+d$, то есть $b+d=1$.
Решаем систему для $b$ и $d$:
$d-b=-5$
$d+b=1$
Сложив уравнения, получим $2d=-4$, откуда $d=-2$.
Подставив $d=-2$ во второе уравнение, получим $b-2=1$, откуда $b=3$.
Проверим четвертое уравнение исходной системы: $bd = (3)(-2) = -6$. Условие выполняется.
Мы нашли решение: $a=1, b=3, d=-2$. Поскольку $c=-a$, то $c=-1$.
Итак, $a=1, b=3, c=-1, d=-2$.

Ответ: $a=1, b=3, c=-1, d=-2$.

3.33. Используя результаты номера 3.32, решите уравнение:

а) $x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0;$

б) $x^4 + x^2 - 4x - 3 = 0;$

В) $x^4 - 5x^2 - 6x - 5 = 0;$

Г) $x^4 - 5x - 6 = 0.$

а) $x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0$

Данное уравнение является возвратным уравнением, так как коэффициенты, равноотстоящие от концов, симметричны ($a_4=a_0=1$) или антисимметричны ($a_3=1, a_1=-1$).

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения. Разделим обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 + x - 4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x - \frac{1}{x}) - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{1}{x}$.

Тогда $y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.

Подставим замену в уравнение:

$(y^2 + 2) + y - 4 = 0$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

1. Если $y=1$, то $x - \frac{1}{x} = 1$.

Умножим на $x$ (так как $x \ne 0$):

$x^2 - 1 = x \implies x^2 - x - 1 = 0$.

Найдем корни по формуле для квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2. Если $y=-2$, то $x - \frac{1}{x} = -2$.

Умножим на $x$:

$x^2 - 1 = -2x \implies x^2 + 2x - 1 = 0$.

Найдем корни:

$x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = -1 + \sqrt{2}$, $x_4 = -1 - \sqrt{2}$.

б) $x^4 + x^2 - 4x - 3 = 0$

Это уравнение можно решить методом выделения полного квадрата (метод Феррари), представив его в виде разности квадратов двух многочленов.

Перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить полный квадрат:

$x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 - 4x - 4 = 0$

$(x^2+1)^2 - (x^2+4x+4) = 0$

$(x^2+1)^2 - (x+2)^2 = 0$

Теперь разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((x^2+1) - (x+2))((x^2+1) + (x+2)) = 0$

$(x^2 - x - 1)(x^2 + x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Решим два квадратных уравнения:

1. $x^2 - x - 1 = 0$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2. $x^2 + x + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11$.

Так как $D<0$, действительных корней нет. Комплексные корни равны:

$x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}$, $x_4 = \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$.

в) $x^4 - 5x^2 - 6x - 5 = 0$

Воспользуемся методом Феррари. Перепишем уравнение:

$x^4 = 5x^2 + 6x + 5$

Добавим к обеим частям выражение $2yx^2+y^2$, чтобы слева получился полный квадрат $(x^2+y)^2$:

$(x^2+y)^2 = (5+2y)x^2 + 6x + (5+y^2)$

Подберем $y$ так, чтобы правая часть стала полным квадратом. Для этого дискриминант квадратного трехчлена $(5+2y)x^2 + 6x + (5+y^2)$ относительно $x$ должен быть равен нулю.

$D = 6^2 - 4(5+2y)(5+y^2) = 0$

$36 - 4(25 + 5y^2 + 10y + 2y^3) = 0$

$9 - (2y^3 + 5y^2 + 10y + 25) = 0$

$2y^3 + 5y^2 + 10y + 16 = 0$

Подбором находим целый корень $y=-2$: $2(-8) + 5(4) + 10(-2) + 16 = -16 + 20 - 20 + 16 = 0$.

Подставим $y=-2$ в уравнение для $(x^2+y)^2$:

$(x^2-2)^2 = (5+2(-2))x^2 + 6x + (5+(-2)^2)$

$(x^2-2)^2 = x^2 + 6x + 9$

$(x^2-2)^2 = (x+3)^2$

$(x^2-2)^2 - (x+3)^2 = 0$

Разложим на множители:

$((x^2-2) - (x+3))((x^2-2) + (x+3)) = 0$

$(x^2 - x - 5)(x^2 + x + 1) = 0$

Решим два квадратных уравнения:

1. $x^2 - x - 5 = 0$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.

2. $x^2 + x + 1 = 0$

$D = 1^2 - 4(1)(1) = -3$.

$x_{3,4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$, $x_3 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$, $x_4 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.

г) $x^4 - 5x - 6 = 0$

В данном уравнении можно попытаться найти целые корни среди делителей свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверка показывает, что $x=-1$ и $x=2$ являются корнями:

При $x=-1$: $(-1)^4 - 5(-1) - 6 = 1 + 5 - 6 = 0$.

При $x=2$: $2^4 - 5(2) - 6 = 16 - 10 - 6 = 0$.

Следовательно, многочлен делится на $(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$.

Выполним деление многочлена $x^4 - 5x - 6$ на $x^2 - x - 2$:

$(x^4 - 5x - 6) : (x^2 - x - 2) = x^2 + x + 3$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x^2 - x - 2)(x^2 + x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0 \implies x_1=2, x_2=-1$.

2. $x^2 + x + 3 = 0$

$D = 1^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11$.

$x_{3,4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$.

Этот же результат можно получить и методом Феррари, как в предыдущих пунктах.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}$, $x_4 = \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$.