Номер 3.33, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.33, страница 27.

3.33. Используя результаты номера 3.32, решите уравнение:

а) $x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0;$

б) $x^4 + x^2 - 4x - 3 = 0;$

В) $x^4 - 5x^2 - 6x - 5 = 0;$

Г) $x^4 - 5x - 6 = 0.$

а) $x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0$

Данное уравнение является возвратным уравнением, так как коэффициенты, равноотстоящие от концов, симметричны ($a_4=a_0=1$) или антисимметричны ($a_3=1, a_1=-1$).

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения. Разделим обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 + x - 4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x - \frac{1}{x}) - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{1}{x}$.

Тогда $y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.

Подставим замену в уравнение:

$(y^2 + 2) + y - 4 = 0$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

1. Если $y=1$, то $x - \frac{1}{x} = 1$.

Умножим на $x$ (так как $x \ne 0$):

$x^2 - 1 = x \implies x^2 - x - 1 = 0$.

Найдем корни по формуле для квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2. Если $y=-2$, то $x - \frac{1}{x} = -2$.

Умножим на $x$:

$x^2 - 1 = -2x \implies x^2 + 2x - 1 = 0$.

Найдем корни:

$x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = -1 + \sqrt{2}$, $x_4 = -1 - \sqrt{2}$.

б) $x^4 + x^2 - 4x - 3 = 0$

Это уравнение можно решить методом выделения полного квадрата (метод Феррари), представив его в виде разности квадратов двух многочленов.

Перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить полный квадрат:

$x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 - 4x - 4 = 0$

$(x^2+1)^2 - (x^2+4x+4) = 0$

$(x^2+1)^2 - (x+2)^2 = 0$

Теперь разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((x^2+1) - (x+2))((x^2+1) + (x+2)) = 0$

$(x^2 - x - 1)(x^2 + x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Решим два квадратных уравнения:

1. $x^2 - x - 1 = 0$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2. $x^2 + x + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11$.

Так как $D<0$, действительных корней нет. Комплексные корни равны:

$x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}$, $x_4 = \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$.

в) $x^4 - 5x^2 - 6x - 5 = 0$

Воспользуемся методом Феррари. Перепишем уравнение:

$x^4 = 5x^2 + 6x + 5$

Добавим к обеим частям выражение $2yx^2+y^2$, чтобы слева получился полный квадрат $(x^2+y)^2$:

$(x^2+y)^2 = (5+2y)x^2 + 6x + (5+y^2)$

Подберем $y$ так, чтобы правая часть стала полным квадратом. Для этого дискриминант квадратного трехчлена $(5+2y)x^2 + 6x + (5+y^2)$ относительно $x$ должен быть равен нулю.

$D = 6^2 - 4(5+2y)(5+y^2) = 0$

$36 - 4(25 + 5y^2 + 10y + 2y^3) = 0$

$9 - (2y^3 + 5y^2 + 10y + 25) = 0$

$2y^3 + 5y^2 + 10y + 16 = 0$

Подбором находим целый корень $y=-2$: $2(-8) + 5(4) + 10(-2) + 16 = -16 + 20 - 20 + 16 = 0$.

Подставим $y=-2$ в уравнение для $(x^2+y)^2$:

$(x^2-2)^2 = (5+2(-2))x^2 + 6x + (5+(-2)^2)$

$(x^2-2)^2 = x^2 + 6x + 9$

$(x^2-2)^2 = (x+3)^2$

$(x^2-2)^2 - (x+3)^2 = 0$

Разложим на множители:

$((x^2-2) - (x+3))((x^2-2) + (x+3)) = 0$

$(x^2 - x - 5)(x^2 + x + 1) = 0$

Решим два квадратных уравнения:

1. $x^2 - x - 5 = 0$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.

2. $x^2 + x + 1 = 0$

$D = 1^2 - 4(1)(1) = -3$.

$x_{3,4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$, $x_3 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$, $x_4 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.

г) $x^4 - 5x - 6 = 0$

В данном уравнении можно попытаться найти целые корни среди делителей свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверка показывает, что $x=-1$ и $x=2$ являются корнями:

При $x=-1$: $(-1)^4 - 5(-1) - 6 = 1 + 5 - 6 = 0$.

При $x=2$: $2^4 - 5(2) - 6 = 16 - 10 - 6 = 0$.

Следовательно, многочлен делится на $(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$.

Выполним деление многочлена $x^4 - 5x - 6$ на $x^2 - x - 2$:

$(x^4 - 5x - 6) : (x^2 - x - 2) = x^2 + x + 3$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x^2 - x - 2)(x^2 + x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0 \implies x_1=2, x_2=-1$.

2. $x^2 + x + 3 = 0$

$D = 1^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11$.

$x_{3,4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$.

Этот же результат можно получить и методом Феррари, как в предыдущих пунктах.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}$, $x_4 = \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$.