Номер 4.1, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.1, страница 28.

4.1. Докажите, что верно равенство:

a) $\sqrt{361} = 19;$

б) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2};$

в) $\sqrt[3]{343} = 7;$

г) $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}.$

а) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt{361} = 19$, необходимо воспользоваться определением арифметического квадратного корня. Согласно этому определению, равенство $\sqrt{a}=b$ является верным, если выполняются два условия: $b \ge 0$ и $b^2 = a$.

В нашем случае $b = 19$. Первое условие $19 > 0$ выполняется. Проверим второе условие, возведя $19$ в квадрат:

$19^2 = 19 \times 19 = 361$.

Так как $19^2$ равно подкоренному выражению $361$, второе условие также выполняется. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt{361} = 19$ верно, так как $19 > 0$ и $19^2 = 361$.

б) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$, воспользуемся определением арифметического корня $n$-ой степени. Для четной степени $n$ равенство $\sqrt[n]{a}=b$ является верным, если $b \ge 0$ и $b^n = a$.

Здесь $n=6$ (четное число) и $b = \frac{1}{2}$. Первое условие $\frac{1}{2} > 0$ выполняется. Проверим второе условие, возведя $\frac{1}{2}$ в шестую степень:

$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$.

Второе условие также выполняется, так как результат равен подкоренному выражению. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$ верно, так как $\frac{1}{2} > 0$ и $(\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.

в) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt[3]{343} = 7$, воспользуемся определением корня нечетной степени. Равенство $\sqrt[n]{a}=b$ для нечетного $n$ является верным, если $b^n = a$.

Здесь $n=3$ (нечетное число) и $b=7$. Проверим выполнение условия, возведя $7$ в третью степень:

$7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343$.

Результат равен подкоренному выражению, значит, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt[3]{343} = 7$ верно, так как $7^3 = 343$.

г) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$, воспользуемся определением корня нечетной степени. Равенство $\sqrt[n]{a}=b$ для нечетного $n$ является верным, если $b^n = a$.

Здесь $n=5$ (нечетное число) и $b = \frac{2}{3}$. Проверим выполнение условия, возведя $\frac{2}{3}$ в пятую степень:

$(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$.

Результат равен подкоренному выражению, следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$ верно, так как $(\frac{2}{3})^5 = \frac{32}{243}$.