Номер 3.30, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.30, страница 26.

3.30. Используя свойство монотонности функции, докажите, что уравнение имеет единственный корень, и найдите этот корень:

a) $x^3 = 10 - x$;

б) $x^5 + 3x^3 = 11\sqrt{2 - x}$.

a) $x^3 = 10 - x$

Перепишем уравнение в виде $x^3 + x = 10$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x$, которая представляет собой левую часть уравнения. Областью определения функции является множество всех действительных чисел.

Исследуем эту функцию на монотонность. Она является суммой двух функций: $y_1(x) = x^3$ и $y_2(x) = x$. Обе эти функции являются строго возрастающими на всей числовой оси. Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией. Следовательно, $f(x) = x^3 + x$ — строго возрастающая функция.

Альтернативно, можно использовать производную: $f'(x) = (x^3 + x)' = 3x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$ для всех $x$. Поскольку производная функции строго положительна на всей области определения, функция $f(x)$ строго возрастает.

Строго монотонная функция каждое своё значение принимает не более одного раза. Поэтому уравнение $f(x) = 10$ может иметь не более одного корня. Чтобы доказать существование и найти этот корень, воспользуемся методом подбора.

Проверим значение функции при $x=2$:
$f(2) = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$.

Так как $f(2) = 10$, то $x=2$ является корнем уравнения. В силу доказанной единственности, это единственный корень.

Ответ: $x=2$.

б) $x^5 + 3x^3 = 11\sqrt{2} - x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, чтобы получить уравнение вида $f(x) = C$:
$x^5 + 3x^3 + x = 11\sqrt{2}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 3x^3 + x$. Ее область определения — все действительные числа.

Функция $f(x)$ является суммой трех строго возрастающих функций: $y_1(x) = x^5$, $y_2(x) = 3x^3$ и $y_3(x) = x$. Следовательно, $f(x)$ также является строго возрастающей функцией на всей числовой оси.

Исследование с помощью производной также подтверждает это: $f'(x) = (x^5 + 3x^3 + x)' = 5x^4 + 9x^2 + 1$. Для любого действительного $x$ выполняются неравенства $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, поэтому $f'(x) \ge 1 > 0$. Так как производная всегда положительна, функция $f(x)$ строго возрастает.

Поскольку функция $f(x)$ строго монотонна, уравнение $f(x) = 11\sqrt{2}$ может иметь не более одного решения.

Найдем это решение подбором. Присутствие $\sqrt{2}$ в правой части уравнения подсказывает, что корень может быть связан с этим числом. Проверим $x = \sqrt{2}$:

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^5 + 3(\sqrt{2})^3 + \sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 3(2\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 11\sqrt{2}$.

Значение функции при $x = \sqrt{2}$ совпало с правой частью уравнения. Таким образом, $x = \sqrt{2}$ является корнем. Так как корень единственный, это и есть искомое решение.

Ответ: $x=\sqrt{2}$.