Номер 3.27, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.27, страница 26.

3.27. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых многочлен $p(x)$ имеет два целых корня:

a) $p(x) = ax^2 + 3x + 2a^2 - 3;$

б) $p(x) = ax^2 - 5x + 4a^2 - 10.$

а) $p(x) = ax^2 + 3x + 2a^2 - 3$

Для того чтобы многочлен $p(x)$ имел два корня, он должен быть квадратным, следовательно, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, то есть $a \ne 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два целых корня уравнения $ax^2 + 3x + 2a^2 - 3 = 0$.

Согласно теореме Виета, для корней выполняются соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{3}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{2a^2 - 3}{a} = 2a - \frac{3}{a}$

Так как $x_1$ и $x_2$ — целые числа, их сумма $S = x_1 + x_2$ и произведение $P = x_1 \cdot x_2$ также являются целыми числами.

Из первого уравнения выразим параметр $a$ через сумму корней $S$: $a = -\frac{3}{S}$.

Подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:

$P = 2\left(-\frac{3}{S}\right) - \frac{3}{-3/S} = -\frac{6}{S} + S$

Поскольку $P$ и $S$ — целые числа, из выражения $P = S - \frac{6}{S}$ следует, что $\frac{6}{S}$ должно быть целым числом. Это означает, что $S$ является делителем числа 6. Возможные целые значения для $S$:

$S \in \{-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6\}$

Корни $x_1$ и $x_2$ являются решениями квадратного уравнения $x^2 - Sx + P = 0$. Чтобы это уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D_x = S^2 - 4P$ должен быть неотрицательным. Чтобы корни были целыми, $D_x$ должен быть полным квадратом неотрицательного целого числа.

Подставим выражение для $P$: $D_x = S^2 - 4\left(S - \frac{6}{S}\right) = S^2 - 4S + \frac{24}{S}$.

Так как $S$ — делитель 6, то $S$ также является делителем 24, поэтому $D_x$ будет целым. Проверим все возможные значения $S$:

• При $S = 1$: $D_x = 1^2 - 4(1) + \frac{24}{1} = 1 - 4 + 24 = 21$ (не является полным квадратом).
• При $S = -1$: $D_x = (-1)^2 - 4(-1) + \frac{24}{-1} = 1 + 4 - 24 = -19 < 0$ (нет действительных корней).
• При $S = 2$: $D_x = 2^2 - 4(2) + \frac{24}{2} = 4 - 8 + 12 = 8$ (не является полным квадратом).
• При $S = -2$: $D_x = (-2)^2 - 4(-2) + \frac{24}{-2} = 4 + 8 - 12 = 0 = 0^2$. Это полный квадрат. В этом случае $a = -\frac{3}{S} = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}$. При этом значении $a$ многочлен имеет два совпадающих целых корня $x_1 = x_2 = -1$. Следовательно, $a = \frac{3}{2}$ является решением.
• При $S = 3$: $D_x = 3^2 - 4(3) + \frac{24}{3} = 9 - 12 + 8 = 5$ (не является полным квадратом).
• При $S = -3$: $D_x = (-3)^2 - 4(-3) + \frac{24}{-3} = 9 + 12 - 8 = 13$ (не является полным квадратом).
• При $S = 6$: $D_x = 6^2 - 4(6) + \frac{24}{6} = 36 - 24 + 4 = 16 = 4^2$. Это полный квадрат. В этом случае $a = -\frac{3}{S} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$. При этом значении $a$ многочлен имеет два различных целых корня $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Следовательно, $a = -\frac{1}{2}$ является решением.
• При $S = -6$: $D_x = (-6)^2 - 4(-6) + \frac{24}{-6} = 36 + 24 - 4 = 56$ (не является полным квадратом).

Таким образом, мы нашли два значения параметра $a$, при которых многочлен имеет два целых корня.

Ответ: $a \in \{-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\}$.

---

б) $p(x) = ax^2 - 5x + 4a^2 - 10$

Аналогично пункту а), $a \ne 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два целых корня уравнения $ax^2 - 5x + 4a^2 - 10 = 0$.

По теореме Виета:

$S = x_1 + x_2 = \frac{5}{a}$

$P = x_1 \cdot x_2 = \frac{4a^2 - 10}{a} = 4a - \frac{10}{a}$

$S$ и $P$ — целые числа.

Из первого уравнения: $a = \frac{5}{S}$.

Подставляем во второе уравнение:

$P = 4\left(\frac{5}{S}\right) - \frac{10}{5/S} = \frac{20}{S} - \frac{10S}{5} = \frac{20}{S} - 2S$

Из $P = \frac{20}{S} - 2S$ следует, что $\frac{20}{S}$ должно быть целым числом, так как $P$ и $2S$ целые. Значит, $S$ — делитель числа 20. Возможные целые значения для $S$:

$S \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\}$

Дискриминант $D_x$ уравнения $x^2 - Sx + P = 0$ должен быть полным квадратом.

$D_x = S^2 - 4P = S^2 - 4\left(\frac{20}{S} - 2S\right) = S^2 - \frac{80}{S} + 8S$.

Так как $S$ — делитель 20, то $S$ также является делителем 80, поэтому $D_x$ будет целым. Проверим все возможные значения $S$:

• При $S = 1$: $D_x = 1 + 8 - 80 = -71 < 0$.
• При $S = -1$: $D_x = 1 - 8 + 80 = 73$ (не квадрат).
• При $S = 2$: $D_x = 4 + 16 - 40 = -20 < 0$.
• При $S = -2$: $D_x = 4 - 16 + 40 = 28$ (не квадрат).
• При $S = 4$: $D_x = 16 + 32 - 20 = 28$ (не квадрат).
• При $S = -4$: $D_x = 16 - 32 + 20 = 4 = 2^2$. Это полный квадрат. При этом $a = \frac{5}{S} = \frac{5}{-4} = -\frac{5}{4}$. Это значение является решением.
• При $S = 5$: $D_x = 25 + 40 - 16 = 49 = 7^2$. Это полный квадрат. При этом $a = \frac{5}{S} = \frac{5}{5} = 1$. Это значение является решением.
• При $S = -5$: $D_x = 25 - 40 + 16 = 1 = 1^2$. Это полный квадрат. При этом $a = \frac{5}{S} = \frac{5}{-5} = -1$. Это значение является решением.
• При $S = 10$: $D_x = 100 + 80 - 8 = 172$ (не квадрат).
• При $S = -10$: $D_x = 100 - 80 + 8 = 28$ (не квадрат).
• При $S = 20$: $D_x = 400 + 160 - 4 = 556$ (не квадрат).
• При $S = -20$: $D_x = 400 - 160 + 4 = 244$ (не квадрат).

Таким образом, мы нашли три значения параметра $a$, при которых многочлен имеет два целых корня.

Ответ: $a \in \{-\frac{5}{4}, -1, 1\}$.