Номер 3.23, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.23, страница 25.

3.23. a) $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = 0;$

Б) $4x^3 - 3x - 1 = 0;$

В) $4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0;$

Г) $38x^3 + 7x^2 - 8x - 1 = 0.$

а)

Дано кубическое уравнение $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = 0$.

Для нахождения рациональных корней воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена (1), а $q$ — делитель старшего коэффициента (10).

Делители $p$: $\pm 1$.

Делители $q$: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.

Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 1/2, \pm 1/5, \pm 1/10$.

Проверим подстановкой значение $x = -1/2$:

$10(-1/2)^3 - 3(-1/2)^2 - 2(-1/2) + 1 = 10(-1/8) - 3(1/4) + 1 + 1 = -10/8 - 3/4 + 2 = -5/4 - 3/4 + 2 = -8/4 + 2 = -2 + 2 = 0$.

Так как значение равно нулю, $x_1 = -1/2$ является корнем уравнения. Следовательно, многочлен делится на $(x + 1/2)$ или на $(2x + 1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1$ на $(2x+1)$:

$(10x^3 - 3x^2 - 2x + 1) : (2x + 1) = 5x^2 - 4x + 1$.

Теперь решим полученное квадратное уравнение $5x^2 - 4x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 5} = \frac{4 \pm 2i}{10} = \frac{2 \pm i}{5}$.

Таким образом, мы нашли еще два корня: $x_2 = \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i$ и $x_3 = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$.

Ответ: $x_1 = -1/2$, $x_2 = \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i$, $x_3 = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$.

б)

Дано кубическое уравнение $4x^3 - 3x - 1 = 0$.

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена (-1), а $q$ — делитель старшего коэффициента (4).

Делители $p$: $\pm 1$.

Делители $q$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 1/2, \pm 1/4$.

Проверим подстановкой значение $x = 1$:

$4(1)^3 - 3(1) - 1 = 4 - 3 - 1 = 0$.

Значит, $x_1 = 1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $4x^3 - 3x - 1$ на $(x - 1)$ (обратите внимание, что коэффициент при $x^2$ равен 0):

$(4x^3 + 0x^2 - 3x - 1) : (x - 1) = 4x^2 + 4x + 1$.

Теперь решим полученное квадратное уравнение $4x^2 + 4x + 1 = 0$.

Это уравнение является полным квадратом: $(2x + 1)^2 = 0$.

Отсюда $2x + 1 = 0$, что дает $x = -1/2$.

Этот корень имеет кратность 2.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_{2,3} = -1/2$.

в)

Дано кубическое уравнение $4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0$.

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 1/2, \pm 1/4$.

Проверим подстановкой значение $x = -1/2$:

$4(-1/2)^3 + 6(-1/2)^2 + 4(-1/2) + 1 = 4(-1/8) + 6(1/4) - 2 + 1 = -1/2 + 3/2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Следовательно, $x_1 = -1/2$ является корнем. Разделим многочлен $4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$ на $(x + 1/2)$ или $(2x + 1)$:

$(4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) : (2x + 1) = 2x^2 + 2x + 1$.

Теперь решим квадратное уравнение $2x^2 + 2x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$.

Корни комплексные:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2i}{4} = \frac{-1 \pm i}{2}$.

Таким образом, два других корня: $x_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ и $x_3 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

Ответ: $x_1 = -1/2$, $x_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$, $x_3 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

г)

Дано кубическое уравнение $38x^3 + 7x^2 - 8x - 1 = 0$.

По теореме о рациональных корнях, возможные корни $p/q$, где $p$ — делитель -1, $q$ — делитель 38.

Делители $p$: $\pm 1$.

Делители $q$: $\pm 1, \pm 2, \pm 19, \pm 38$.

Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 1/2, \pm 1/19, \pm 1/38$.

Проверим подстановкой значение $x = -1/2$:

$38(-1/2)^3 + 7(-1/2)^2 - 8(-1/2) - 1 = 38(-1/8) + 7(1/4) + 4 - 1 = -19/4 + 7/4 + 3 = -12/4 + 3 = -3 + 3 = 0$.

Значит, $x_1 = -1/2$ является корнем. Разделим многочлен $38x^3 + 7x^2 - 8x - 1$ на $(x + 1/2)$ или $(2x + 1)$:

$(38x^3 + 7x^2 - 8x - 1) : (2x + 1) = 19x^2 - 6x - 1$.

Теперь решим квадратное уравнение $19x^2 - 6x - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-1) = 36 + 76 = 112$.

Корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 19} = \frac{6 \pm \sqrt{16 \cdot 7}}{38} = \frac{6 \pm 4\sqrt{7}}{38} = \frac{3 \pm 2\sqrt{7}}{19}$.

Таким образом, два других корня: $x_2 = \frac{3 + 2\sqrt{7}}{19}$ и $x_3 = \frac{3 - 2\sqrt{7}}{19}$.

Ответ: $x_1 = -1/2$, $x_2 = \frac{3 + 2\sqrt{7}}{19}$, $x_3 = \frac{3 - 2\sqrt{7}}{19}$.