Номер 3.24, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.24, страница 26.

3.24. Решите уравнение:

a) $16x^3 - 28x^2 + 4x + 3 = 0;$

б) $6x^3 - 13x^2 + 9x - 2 = 0;$

в) $6x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0;$

г) $4x^3 + 2x^2 - 8x + 3 = 0.$

а) $16x^3 - 28x^2 + 4x + 3 = 0$

Для решения данного кубического уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена (3), а $q$ — делитель старшего коэффициента (16).

Делители $p$: $\pm1, \pm3$.

Делители $q$: $1, 2, 4, 8, 16$.

Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm3, \pm1/2, \pm3/2, \pm1/4, \pm3/4, \pm1/8, \pm3/8, \pm1/16, \pm3/16$.

Проверим некоторые из них. Пусть $P(x) = 16x^3 - 28x^2 + 4x + 3$.

Подставим $x = 1/2$:

$P(1/2) = 16(1/2)^3 - 28(1/2)^2 + 4(1/2) + 3 = 16(1/8) - 28(1/4) + 2 + 3 = 2 - 7 + 2 + 3 = 0$.

Так как $x = 1/2$ является корнем, многочлен $16x^3 - 28x^2 + 4x + 3$ делится на $(x - 1/2)$ или, что эквивалентно, на $(2x - 1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена столбиком:

$(16x^3 - 28x^2 + 4x + 3) : (2x - 1) = 8x^2 - 10x - 3$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(2x - 1)(8x^2 - 10x - 3) = 0$.

Отсюда либо $2x - 1 = 0$, что дает корень $x_1 = 1/2$, либо $8x^2 - 10x - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение $8x^2 - 10x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.

Корни квадратного уравнения:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 14}{2 \cdot 8} = \frac{10 \pm 14}{16}$.

$x_2 = \frac{10 + 14}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$.

$x_3 = \frac{10 - 14}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $x_1 = -1/4, x_2 = 1/2, x_3 = 3/2$.

б) $6x^3 - 13x^2 + 9x - 2 = 0$

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни — это дроби $p/q$, где $p$ — делитель числа -2, а $q$ — делитель числа 6.

Делители $p$: $\pm1, \pm2$.

Делители $q$: $1, 2, 3, 6$.

Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm1/2, \pm1/3, \pm2/3, \pm1/6$.

Проверим $x = 1$. Пусть $P(x) = 6x^3 - 13x^2 + 9x - 2$.

$P(1) = 6(1)^3 - 13(1)^2 + 9(1) - 2 = 6 - 13 + 9 - 2 = 0$.

Корень $x_1 = 1$ найден. Разделим многочлен на $(x-1)$:

$(6x^3 - 13x^2 + 9x - 2) : (x - 1) = 6x^2 - 7x + 2$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 1)(6x^2 - 7x + 2) = 0$.

Остается решить квадратное уравнение $6x^2 - 7x + 2 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 1}{2 \cdot 6} = \frac{7 \pm 1}{12}$.

$x_2 = \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

$x_3 = \frac{7 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x_1 = 1/2, x_2 = 2/3, x_3 = 1$.

в) $6x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0$

Проверим наличие рациональных корней. Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm1/2, \pm1/3, \pm2/3, \pm1/6$.

Подстановка показывает, что ни один из этих корней не подходит. Например, для $x=-1/2$:

$6(-1/2)^3 - (-1/2)^2 + 3(-1/2) + 2 = 6(-1/8) - 1/4 - 3/2 + 2 = -3/4 - 1/4 - 6/4 + 8/4 = -2/4 = -1/2 \neq 0$.

Это означает, что у уравнения нет рациональных корней. Исследуем функцию $f(x) = 6x^3 - x^2 + 3x + 2$. Ее производная $f'(x) = 18x^2 - 2x + 3$. Дискриминант для $f'(x)$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 3 = 4 - 216 = -212 < 0$. Так как старший коэффициент у $f'(x)$ положителен ($18>0$), производная всегда положительна. Следовательно, функция $f(x)$ монотонно возрастает и имеет только один действительный корень, который является иррациональным.

Вероятно, в условии задачи имеется опечатка. Распространенным вариантом этого задания является уравнение $6x^3 + x^2 + 3x + 2 = 0$. Решим его.

Проверим корень $x = -1/2$ для измененного уравнения:

$6(-1/2)^3 + (-1/2)^2 + 3(-1/2) + 2 = 6(-1/8) + 1/4 - 3/2 + 2 = -3/4 + 1/4 - 6/4 + 8/4 = 0$.

Корень $x_1 = -1/2$ найден. Разделим многочлен $6x^3 + x^2 + 3x + 2$ на $(2x+1)$:

$(6x^3 + x^2 + 3x + 2) : (2x + 1) = 3x^2 - x + 2$.

Получаем уравнение $(2x + 1)(3x^2 - x + 2) = 0$.

Решим квадратное уравнение $3x^2 - x + 2 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23 < 0$.

Так как дискриминант отрицателен, у квадратного уравнения нет действительных корней.

Таким образом, для уравнения $6x^3 + x^2 + 3x + 2 = 0$ единственным действительным корнем является $x = -1/2$.

Ответ: У исходного уравнения $6x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0$ нет рациональных корней, есть один иррациональный корень. Если предположить опечатку в условии и решать уравнение $6x^3 + x^2 + 3x + 2 = 0$, то ответ: $x = -1/2$.

г) $4x^3 + 2x^2 - 8x + 3 = 0$

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни: $p/q$, где $p$ — делитель 3, а $q$ — делитель 4.

Возможные корни: $\pm1, \pm3, \pm1/2, \pm3/2, \pm1/4, \pm3/4$.

Проверим $x = 1/2$. Пусть $P(x) = 4x^3 + 2x^2 - 8x + 3$.

$P(1/2) = 4(1/2)^3 + 2(1/2)^2 - 8(1/2) + 3 = 4(1/8) + 2(1/4) - 4 + 3 = 1/2 + 1/2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Корень $x_1 = 1/2$ найден. Разделим многочлен на $(2x-1)$:

$(4x^3 + 2x^2 - 8x + 3) : (2x - 1) = 2x^2 + 2x - 3$.

Уравнение принимает вид:

$(2x - 1)(2x^2 + 2x - 3) = 0$.

Остается решить квадратное уравнение $2x^2 + 2x - 3 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 4 + 24 = 28$.

Корни иррациональные:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}$.

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{7}}{2}$.

$x_3 = \frac{-1 - \sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{7}}{2}, x_2 = 1/2, x_3 = \frac{-1 + \sqrt{7}}{2}$.