Номер 3.26, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.26, страница 26.

3.26. Найдите все целые значения параметра $a$, при каждом из которых многочлен $p(x)$ имеет хотя бы один целый корень; для каждого найденного значения $a$ определите число различных целых корней многочлена $p(x)$:

a) $p(x) = x^3 - 3x^2 + ax - 1$;

б) $p(x) = x^4 + ax^2 - (2a + 3)x - 7$.

a) p(x) = x³ - 3x² + ax - 1

По условию, параметр $a$ — целое число. Следовательно, многочлен $p(x) = x³ - 3x² + ax - 1$ имеет целые коэффициенты. Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целый корень $x_0$, то этот корень должен быть делителем свободного члена. Свободный член многочлена $p(x)$ равен -1. Целыми делителями числа -1 являются $1$ и $-1$. Следовательно, если у многочлена есть целые корни, то они могут быть только $x = 1$ или $x = -1$. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Случай 1: $x = 1$ является корнем многочлена.
Подставим $x = 1$ в уравнение $p(x) = 0$:
$p(1) = 1³ - 3 \cdot 1² + a \cdot 1 - 1 = 0$
$1 - 3 + a - 1 = 0$
$a - 3 = 0$
$a = 3$
Мы нашли целое значение параметра $a = 3$. Теперь определим число различных целых корней для этого значения $a$.
При $a = 3$ многочлен принимает вид:
$p(x) = x³ - 3x² + 3x - 1$
Это выражение является формулой куба разности: $p(x) = (x - 1)³$.
Уравнение $p(x) = 0$ превращается в $(x - 1)³ = 0$, которое имеет единственный корень $x = 1$ кратности 3. Таким образом, при $a = 3$ многочлен имеет один различный целый корень.

Случай 2: $x = -1$ является корнем многочлена.
Подставим $x = -1$ в уравнение $p(x) = 0$:
$p(-1) = (-1)³ - 3 \cdot (-1)² + a \cdot (-1) - 1 = 0$
$-1 - 3(1) - a - 1 = 0$
$-1 - 3 - a - 1 = 0$
$-a - 5 = 0$
$a = -5$
Мы нашли еще одно целое значение параметра $a = -5$. Определим число различных целых корней.
При $a = -5$ многочлен принимает вид:
$p(x) = x³ - 3x² - 5x - 1$
Поскольку $x = -1$ является корнем, мы можем разделить $p(x)$ на $(x + 1)$ без остатка. В результате деления (например, по схеме Горнера) получаем:
$p(x) = (x + 1)(x² - 4x - 1)$
Другие корни многочлена $p(x)$ являются корнями квадратного уравнения $x² - 4x - 1 = 0$.
Найдем их по формуле для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)² - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
Корни $2 + \sqrt{5}$ и $2 - \sqrt{5}$ не являются целыми числами.
Следовательно, при $a = -5$ многочлен имеет только один целый корень $x = -1$.

Ответ: при $a=3$ один различный целый корень ($x=1$); при $a=-5$ один различный целый корень ($x=-1$).

б) p(x) = x⁴ + ax² - (2a + 3)x - 7

Параметр $a$ — целое число, поэтому многочлен $p(x) = x⁴ + ax² - (2a + 3)x - 7$ имеет целые коэффициенты. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные целые корни $x_0$ являются делителями свободного члена, который равен -7. Целые делители числа -7: $\pm1, \pm7$. Подставим каждое из этих значений в уравнение $p(x_0)=0$ и найдем соответствующие значения $a$.

Случай 1: $x = 1$ является корнем.
$p(1) = 1⁴ + a \cdot 1² - (2a + 3) \cdot 1 - 7 = 0$
$1 + a - 2a - 3 - 7 = 0$
$-a - 9 = 0$
$a = -9$
При $a = -9$ (целое число) многочлен имеет корень $x = 1$. Найдем остальные корни. $p(x) = x⁴ - 9x² - (2(-9) + 3)x - 7 = x⁴ - 9x² + 15x - 7$
Разделим $p(x)$ на $(x - 1)$: $p(x) = (x - 1)(x³ + x² - 8x + 7)$.
Проверим, есть ли у частного $q(x) = x³ + x² - 8x + 7$ целые корни. Они также должны быть делителями 7 (т.е. $\pm1, \pm7$).
$q(1) = 1 + 1 - 8 + 7 = 1 \ne 0$
$q(-1) = -1 + 1 + 8 + 7 = 15 \ne 0$
$q(7) = 7³ + 7² - 8(7) + 7 \ne 0$
$q(-7) = (-7)³ + (-7)² - 8(-7) + 7 \ne 0$
Других целых корней нет. При $a = -9$ есть один различный целый корень $x=1$.

Случай 2: $x = -1$ является корнем.
$p(-1) = (-1)⁴ + a(-1)² - (2a + 3)(-1) - 7 = 0$
$1 + a + 2a + 3 - 7 = 0$
$3a - 3 = 0$
$a = 1$
При $a = 1$ (целое число) многочлен имеет корень $x = -1$. Найдем остальные корни.
$p(x) = x⁴ + 1 \cdot x² - (2(1) + 3)x - 7 = x⁴ + x² - 5x - 7$
Разделим $p(x)$ на $(x + 1)$: $p(x) = (x + 1)(x³ - x² + 2x - 7)$.
Проверим, есть ли у частного $q(x) = x³ - x² + 2x - 7$ целые корни (возможные корни $\pm1, \pm7$).
$q(1) = 1 - 1 + 2 - 7 = -5 \ne 0$
$q(-1) = -1 - 1 - 2 - 7 = -11 \ne 0$
$q(7) = 7³ - 7² + 2(7) - 7 \ne 0$
$q(-7) = (-7)³ - (-7)² + 2(-7) - 7 \ne 0$
Других целых корней нет. При $a = 1$ есть один различный целый корень $x=-1$.

Случай 3: $x = 7$ является корнем.
$p(7) = 7⁴ + a \cdot 7² - (2a + 3) \cdot 7 - 7 = 0$
$2401 + 49a - 14a - 21 - 7 = 0$
$35a + 2373 = 0$
$a = -2373/35$. Это не целое число.

Случай 4: $x = -7$ является корнем.
$p(-7) = (-7)⁴ + a(-7)² - (2a + 3)(-7) - 7 = 0$
$2401 + 49a + 14a + 21 - 7 = 0$
$63a + 2415 = 0$
$a = -2415/63 = -115/3$. Это не целое число.

Таким образом, только два целых значения параметра $a$ (это $a=-9$ и $a=1$) удовлетворяют условию задачи.
Ответ: при $a=-9$ один различный целый корень ($x=1$); при $a=1$ один различный целый корень ($x=-1$).