Номер 6.7, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.7, страница 36.

6.7. a) $\sqrt[5]{1024x^{10}y^5z^{15}};$

б) $\sqrt[3]{\frac{343m^{12}}{64n^3p^{15}}};$

в) $\sqrt[4]{0,0081a^{12}b^4c^{20}};$

г) $\sqrt[4]{\frac{16r^{16}s^{12}}{81p^{24}q^4}}.$

а) Для того чтобы извлечь корень из произведения, можно извлечь корень из каждого множителя по отдельности, используя свойство $ \sqrt[n]{abc} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\sqrt[n]{c} $.

$ \sqrt[5]{1024x^{10}y^5z^{15}} = \sqrt[5]{1024} \cdot \sqrt[5]{x^{10}} \cdot \sqrt[5]{y^5} \cdot \sqrt[5]{z^{15}} $.
Показатель корня (5) — нечетное число, поэтому при извлечении корня знак модуля не ставится.
Вычислим корень из каждого множителя:
1. $ \sqrt[5]{1024} = 4 $, так как $ 4^5 = 1024 $.
2. Для степенных выражений воспользуемся свойством $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $:
$ \sqrt[5]{x^{10}} = x^{\frac{10}{5}} = x^2 $.
$ \sqrt[5]{y^5} = y^{\frac{5}{5}} = y $.
$ \sqrt[5]{z^{15}} = z^{\frac{15}{5}} = z^3 $.
3. Перемножим полученные результаты: $ 4 \cdot x^2 \cdot y \cdot z^3 = 4x^2yz^3 $.

Ответ: $ 4x^2yz^3 $

б) Для извлечения корня из дроби, можно извлечь корень из числителя и знаменателя по отдельности, используя свойство $ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $.

$ \sqrt[3]{\frac{343m^{12}}{64n^3p^{15}}} = \frac{\sqrt[3]{343m^{12}}}{\sqrt[3]{64n^3p^{15}}} $.
Показатель корня (3) — нечетное число.
1. Упростим числитель: $ \sqrt[3]{343m^{12}} = \sqrt[3]{343} \cdot \sqrt[3]{m^{12}} $.
$ \sqrt[3]{343} = 7 $, так как $ 7^3 = 343 $.
$ \sqrt[3]{m^{12}} = m^{\frac{12}{3}} = m^4 $.
Числитель равен $ 7m^4 $.
2. Упростим знаменатель: $ \sqrt[3]{64n^3p^{15}} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{n^3} \cdot \sqrt[3]{p^{15}} $.
$ \sqrt[3]{64} = 4 $, так как $ 4^3 = 64 $.
$ \sqrt[3]{n^3} = n^{\frac{3}{3}} = n $.
$ \sqrt[3]{p^{15}} = p^{\frac{15}{3}} = p^5 $.
Знаменатель равен $ 4np^5 $.
3. Объединим числитель и знаменатель: $ \frac{7m^4}{4np^5} $.

Ответ: $ \frac{7m^4}{4np^5} $

в) Разложим подкоренное выражение на множители и извлечем корень из каждого: $ \sqrt[4]{0,0081a^{12}b^4c^{20}} = \sqrt[4]{0,0081} \cdot \sqrt[4]{a^{12}} \cdot \sqrt[4]{b^4} \cdot \sqrt[4]{c^{20}} $.
Показатель корня (4) — четное число. При извлечении корня четной степени необходимо использовать модуль, согласно правилу $ \sqrt[2k]{A^{2k}} = |A| $.
1. Вычислим корень из числового коэффициента: $ \sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{(0,3)^4} = 0,3 $.
2. Упростим выражения с переменными:
$ \sqrt[4]{a^{12}} = \sqrt[4]{(a^3)^4} = |a^3| $.
$ \sqrt[4]{b^4} = |b| $.
$ \sqrt[4]{c^{20}} = \sqrt[4]{(c^5)^4} = |c^5| $.
3. Перемножим результаты и, используя свойство $ |a| \cdot |b| = |ab| $, объединим модули: $ 0,3 \cdot |a^3| \cdot |b| \cdot |c^5| = 0,3|a^3bc^5| $.

Ответ: $ 0,3|a^3bc^5| $

г) Используем свойство корня из дроби: $ \sqrt[4]{\frac{16r^{16}s^{12}}{81p^{24}q^4}} = \frac{\sqrt[4]{16r^{16}s^{12}}}{\sqrt[4]{81p^{24}q^4}} $.
Показатель корня (4) — четное число, поэтому для некоторых переменных нужно будет использовать модуль.
1. Упростим числитель: $ \sqrt[4]{16r^{16}s^{12}} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{r^{16}} \cdot \sqrt[4]{s^{12}} $.
$ \sqrt[4]{16} = 2 $.
$ \sqrt[4]{r^{16}} = \sqrt[4]{(r^4)^4} = |r^4| $. Так как выражение $ r^4 $ всегда неотрицательно, $ |r^4| = r^4 $.
$ \sqrt[4]{s^{12}} = \sqrt[4]{(s^3)^4} = |s^3| $.
Числитель равен $ 2r^4|s^3| $.
2. Упростим знаменатель: $ \sqrt[4]{81p^{24}q^4} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{p^{24}} \cdot \sqrt[4]{q^4} $.
$ \sqrt[4]{81} = 3 $.
$ \sqrt[4]{p^{24}} = \sqrt[4]{(p^6)^4} = |p^6| $. Так как $ p^6 $ всегда неотрицательно, $ |p^6| = p^6 $.
$ \sqrt[4]{q^4} = |q| $.
Знаменатель равен $ 3p^6|q| $.
3. Объединим числитель и знаменатель: $ \frac{2r^4|s^3|}{3p^6|q|} $.

Ответ: $ \frac{2r^4|s^3|}{3p^6|q|} $