Номер 1.20, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.20, страница 13.

1.20. a) Пусть многочлен $ax^3 + bx^2 + cx + d$ тождественно равен многочлену $a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Выразите коэффициенты $a, b, c$ и $d$ через числа $x_1, x_2, x_3$.
б) Пусть многочлен $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ тождественно равен многочлену $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)$. Выразите коэффициенты $a, b, c$ и $d$ через числа $x_1, x_2, x_3, x_4$.

а)

Дано тождество: $ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Для того чтобы выразить коэффициенты $b, c, d$ через $a$ и числа $x_1, x_2, x_3$, необходимо раскрыть скобки в правой части равенства и привести многочлен к стандартному виду.

Выполним раскрытие скобок последовательно:
1. Сначала перемножим два двучлена:
$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - x_2x - x_1x + x_1x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$.
2. Теперь умножим полученный результат на $(x - x_3)$:
$(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)(x - x_3) = x^3 - x_3x^2 - (x_1 + x_2)x^2 + (x_1 + x_2)x_3x + x_1x_2x - x_1x_2x_3$.
После группировки слагаемых при одинаковых степенях $x$ получим:
$x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$.
3. Наконец, умножим весь многочлен на старший коэффициент $a$:
$a(x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3) = ax^3 - a(x_1 + x_2 + x_3)x^2 + a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - ax_1x_2x_3$.

Теперь мы можем приравнять коэффициенты полученного многочлена к коэффициентам исходного многочлена $ax^3 + bx^2 + cx + d$, так как многочлены тождественно равны.
- Коэффициент при $x^3$: $a = a$. Этот коэффициент является общим для обеих записей многочлена.
- Коэффициент при $x^2$: $b = -a(x_1 + x_2 + x_3)$.
- Коэффициент при $x$: $c = a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$.
- Свободный член (коэффициент при $x^0$): $d = -ax_1x_2x_3$.
Полученные формулы являются обобщением теоремы Виета.

Ответ: Коэффициент $a$ является старшим коэффициентом; $b = -a(x_1 + x_2 + x_3)$; $c = a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$; $d = -ax_1x_2x_3$.

б)

Дано тождество: $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)$. В этом случае старший коэффициент многочлена равен 1. Задача состоит в том, чтобы выразить коэффициенты $a, b, c, d$ через числа $x_1, x_2, x_3, x_4$. Для этого, как и в предыдущем пункте, раскроем скобки в правой части и приравняем коэффициенты. Эти соотношения известны как формулы Виета для многочлена четвёртой степени.

Развернутая форма правой части имеет вид:
$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4) = x^4 - (x_1+x_2+x_3+x_4)x^3 + (x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)x^2 - (x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)x + x_1x_2x_3x_4$.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ с многочленом $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$, получаем:
- Коэффициент при $x^3$: $a = -(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)$.
- Коэффициент при $x^2$: $b = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4$.
- Коэффициент при $x$: $c = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4)$.
- Свободный член: $d = x_1x_2x_3x_4$.

Ответ: $a = -(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)$; $b = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4$; $c = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4)$; $d = x_1x_2x_3x_4$.