Номер 1.22, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.22, страница 13.

•1.22. Пусть $p(x)$ — многочлен степени $k$ и при всех значениях $x$ справедливо равенство $p(-x) = -p(x)$. Докажите, что:

а) $k$ — нечётное натуральное число;

б) коэффициенты многочлена $p(x)$ при чётных степенях $x$ равны нулю.

Пусть многочлен $p(x)$ степени $k$ имеет общий вид:

$p(x) = a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^{k} a_i x^i$

По определению степени многочлена, старший коэффициент $a_k \neq 0$.

По условию задачи, для всех значений $x$ справедливо равенство $p(-x) = -p(x)$. Это свойство нечётной функции.

Выразим левую и правую части этого равенства через коэффициенты многочлена.

Левая часть:

$p(-x) = a_k (-x)^k + a_{k-1} (-x)^{k-1} + \dots + a_1 (-x) + a_0 = \sum_{i=0}^{k} a_i (-1)^i x^i$

Правая часть:

$-p(x) = -(a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_1 x + a_0) = \sum_{i=0}^{k} (-a_i) x^i$

Приравнивая эти два выражения, получаем тождество:

$\sum_{i=0}^{k} a_i (-1)^i x^i = \sum_{i=0}^{k} (-a_i) x^i$

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях $x$. Следовательно, для каждого индекса $i$ от $0$ до $k$ должно выполняться равенство:

$a_i (-1)^i = -a_i$

Перенеся все члены в одну сторону, получим: $a_i (-1)^i + a_i = 0$, что эквивалентно $a_i ((-1)^i + 1) = 0$.

Это ключевое соотношение, которое мы используем для доказательства обоих пунктов.

а) k — нечётное натуральное число;

Рассмотрим полученное соотношение $a_i ((-1)^i + 1) = 0$ для старшего члена многочлена, то есть при $i=k$.

$a_k ((-1)^k + 1) = 0$

Поскольку $k$ — это степень многочлена, мы знаем, что старший коэффициент $a_k$ не равен нулю ($a_k \neq 0$).

Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю:

$(-1)^k + 1 = 0$

Отсюда следует, что $(-1)^k = -1$.

Это равенство истинно только в том случае, если показатель степени $k$ является нечётным числом.

Поскольку степень многочлена $k$ по определению является целым неотрицательным числом, а для ненулевого многочлена (что следует из $p(-x) = -p(x)$, так как для $x\neq0$ и $p(x)\neq0$ имеем $p(-x)\neq p(x)$) степень является натуральным числом или нулем, и мы доказали, что она нечетна, то $k$ — нечётное натуральное число (1, 3, 5, ...).

Ответ: Утверждение доказано.

б) коэффициенты многочлена p(x) при чётных степенях x равны нулю.

Вновь воспользуемся соотношением $a_i ((-1)^i + 1) = 0$ для произвольного коэффициента $a_i$.

Рассмотрим случай, когда индекс $i$ является чётным числом. Пусть $i = 2m$, где $m$ — целое неотрицательное число ($m=0, 1, 2, \dots$).

В этом случае $(-1)^i = (-1)^{2m} = 1$.

Подставим это значение в наше соотношение:

$a_i (1 + 1) = 0$

$2a_i = 0$

Из этого уравнения однозначно следует, что $a_i = 0$.

Таким образом, для всех чётных значений индекса $i$ (включая $i=0$, что соответствует свободному члену $a_0$) соответствующий коэффициент $a_i$ должен быть равен нулю.

Ответ: Утверждение доказано.