Номер 3, страница 312, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Диофантовы уравнения.

Поскольку в вопросе не приведено конкретное уравнение, ниже представлено развернутое объяснение темы «Диофантовы уравнения» с определениями, примерами и методами решения.

а) Определение и история

Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, для которого требуется найти целочисленные или, в некоторых случаях, рациональные решения. Обычно это уравнение содержит две или более неизвестные переменные.

Название происходит от имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского, жившего в III веке н.э. В своем знаменитом труде «Арифметика» он впервые систематически исследовал подобные уравнения и предложил методы для их решения. Диофантовы уравнения являются центральным объектом изучения в теории чисел и часто приводят к глубоким и сложным математическим задачам.

Ответ: Диофантовы уравнения — это полиномиальные уравнения с целыми коэффициентами, решения которых ищутся в целых числах. Они названы в честь древнегреческого математика Диофанта.

б) Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными

Простейшим и наиболее изученным типом диофантовых уравнений являются линейные уравнения вида $ax + by = c$, где $a, b, c$ — заданные целые числа, а $x, y$ — неизвестные целые числа.

Условие разрешимости: Такое уравнение имеет целочисленные решения тогда и только тогда, когда правая часть $c$ делится нацело на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$. Формально: $\text{НОД}(a, b) | c$.

Алгоритм решения:

1. Найти $d = \text{НОД}(a, b)$ с помощью алгоритма Евклида.
2. Проверить, делится ли $c$ на $d$. Если нет, решений в целых числах не существует.
3. Если $c$ делится на $d$, найти частное решение $(x_0, y_0)$. Для этого сначала с помощью расширенного алгоритма Евклида находят целые числа $u$ и $v$ такие, что $au + bv = d$. Затем, поскольку $c = k \cdot d$ для некоторого целого $k$, частное решение исходного уравнения будет $x_0 = u \cdot k$, $y_0 = v \cdot k$.
4. Записать общее решение. Если $(x_0, y_0)$ — частное решение, то все решения уравнения описываются формулами:
$x = x_0 + \frac{b}{d} t$
$y = y_0 - \frac{a}{d} t$
где $t$ — любое целое число ($t \in \mathbb{Z}$).

Пример: Решить в целых числах уравнение $12x + 18y = 42$.

1. Находим $\text{НОД}(12, 18)$. По алгоритму Евклида: $18 = 1 \cdot 12 + 6$, $12 = 2 \cdot 6 + 0$. Значит, $d = \text{НОД}(12, 18) = 6$.

2. Проверяем условие: $42$ делится на $6$ ($42 = 7 \cdot 6$). Решения существуют.

3. Находим частное решение. Из первого шага алгоритма Евклида выражаем НОД: $6 = 18 - 1 \cdot 12$. То есть $12(-1) + 18(1) = 6$. Мы нашли $u=-1, v=1$. Так как $42 = 6 \cdot 7$, умножаем $u$ и $v$ на 7:
$x_0 = -1 \cdot 7 = -7$
$y_0 = 1 \cdot 7 = 7$
Проверка: $12(-7) + 18(7) = -84 + 126 = 42$. Верно.

4. Записываем общее решение ($d=6$):
$x = -7 + \frac{18}{6} t = -7 + 3t$
$y = 7 - \frac{12}{6} t = 7 - 2t$
где $t$ — любое целое число.

Ответ: Линейное диофантово уравнение $ax+by=c$ разрешимо в целых числах, если $c$ делится на $\text{НОД}(a,b)$, а его общее решение можно найти с помощью расширенного алгоритма Евклида.

в) Примеры нелинейных диофантовых уравнений

Нелинейные диофантовы уравнения значительно сложнее, и для них не существует единого алгоритма решения. Рассмотрим несколько знаменитых примеров.

Уравнение Пифагора: $x^2 + y^2 = z^2$

Его целочисленные решения $(x, y, z)$ называются пифагоровыми тройками. Все примитивные пифагоровы тройки (т.е. те, где $x, y, z$ взаимно просты) можно получить по формулам Евклида:
$x = m^2 - k^2$
$y = 2mk$
$z = m^2 + k^2$
где $m, k$ — взаимно простые натуральные числа разной четности и $m > k > 0$. Например, при $m=2, k=1$ получаем тройку $(3, 4, 5)$.

Уравнение Пелля: $x^2 - ny^2 = 1$

Здесь $n$ — заданное натуральное число, не являющееся полным квадратом. Уравнение всегда имеет тривиальное решение $(\pm 1, 0)$. Кроме того, оно всегда имеет бесконечное множество нетривиальных решений. Все они могут быть получены из так называемого фундаментального решения $(x_1, y_1)$ — наименьшего положительного решения. Остальные решения $(x_k, y_k)$ находятся из соотношения:
$x_k + y_k\sqrt{n} = (x_1 + y_1\sqrt{n})^k$
где $k$ — любое целое число. Фундаментальное решение можно найти с помощью аппарата цепных дробей для числа $\sqrt{n}$.

Великая теорема Ферма: $x^n + y^n = z^n$

Это, пожалуй, самое известное диофантово уравнение. Теорема, сформулированная Пьером Ферма в 1637 году, утверждает, что для любого натурального числа $n > 2$ это уравнение не имеет решений в целых ненулевых числах $x, y, z$. Эта гипотеза оставалась недоказанной более 350 лет и была полностью доказана лишь в 1994 году Эндрю Уайлсом, что стало одним из величайших достижений математики XX века.

Ответ: Известные нелинейные диофантовы уравнения, такие как уравнение Пифагора, Пелля и Ферма, демонстрируют разнообразие и сложность этой области математики, требуя для решения специальных подходов.

г) Общие методы решения

Хотя универсального метода решения не существует, есть несколько общих подходов к анализу диофантовых уравнений.

Метод разложения на множители: Уравнение преобразуется к виду, где одна часть представляет собой произведение нескольких сомножителей, а другая — целое число. Затем перебираются все возможные целочисленные делители этого числа.
Пример: $xy - x - y = 1 \Rightarrow (x-1)(y-1) - 1 = 1 \Rightarrow (x-1)(y-1) = 2$.
Поскольку $x$ и $y$ целые, то $(x-1)$ и $(y-1)$ — целые делители числа 2. Возможные пары множителей: $(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)$.
Это дает четыре решения для $(x,y)$: $(2, 3), (3, 2), (0, -1), (-1, 0)$.

Использование сравнений по модулю: Уравнение рассматривается по некоторому целому модулю $m$. Если получившееся сравнение не имеет решений, то и исходное диофантово уравнение не имеет решений. Этот метод особенно полезен для доказательства неразрешимости.
Пример: доказать, что $x^2 - 5y^2 = 3$ не имеет решений в целых числах.
Рассмотрим уравнение по модулю 5: $x^2 - 5y^2 \equiv 3 \pmod{5}$, что упрощается до $x^2 \equiv 3 \pmod{5}$.
Однако квадраты целых чисел по модулю 5 могут быть равны только $0^2 \equiv 0$, $(\pm 1)^2 \equiv 1$, $(\pm 2)^2 \equiv 4$. Таким образом, $x^2$ никогда не может быть сравним с 3 по модулю 5. Следовательно, решений нет.

Метод бесконечного спуска: Метод доказательства от противного, разработанный Ферма. Предполагается, что существует хотя бы одно решение в натуральных числах. Затем из этого решения строится другое, "меньшее" в каком-то смысле (например, с меньшим значением одной из переменных). Этот процесс можно продолжать бесконечно, получая бесконечную убывающую последовательность натуральных чисел, что невозможно. Это противоречие доказывает, что исходное предположение о существовании решения было неверным.

Ответ: К основным методам решения диофантовых уравнений относятся разложение на множители, применение модульной арифметики для сужения поиска или доказательства неразрешимости, а также метод бесконечного спуска для доказательства отсутствия решений.