Номер 5, страница 312, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Решение неравенств с помощью обобщённого метода интервалов.

Обобщённый метод интервалов — это стандартный алгоритм для решения сложных неравенств вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$. Суть метода заключается в том, чтобы найти все точки, в которых функция $f(x)$ может поменять знак (то есть её нули и точки разрыва), нанести их на числовую ось и определить знак функции на каждом из получившихся интервалов.

Алгоритм решения неравенств обобщённым методом интервалов:

1. Привести неравенство к виду $f(x) \vee 0$, где $\vee$ — это один из знаков неравенства ($>, <, \ge, \le$). Для этого все слагаемые переносятся в левую часть.
2. Найти область определения (ОДЗ) функции $f(x)$, то есть все значения $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл. Необходимо исключить значения $x$, при которых происходит деление на ноль, извлечение корня чётной степени из отрицательного числа, вычисление логарифма от неположительного числа и т.д.
3. Найти нули функции $f(x)$, решив уравнение $f(x) = 0$.
4. Нанести на числовую ось нули функции и точки, которые не входят в ОДЗ (точки разрыва). Эти точки разобьют числовую ось на интервалы.
   • Если неравенство строгое ($>$ или $<$), все точки на оси отмечаются как выколотые (пустые кружки).
   • Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), нули функции, принадлежащие ОДЗ, отмечаются как закрашенные (сплошные кружки), а точки разрыва — всегда выколотые.
5. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Для этого нужно взять любую "пробную" точку из интервала, подставить её в $f(x)$ и вычислить знак. Далее можно расставить знаки на остальных интервалах, используя правило чередования: при переходе через корень нечётной кратности знак меняется, а при переходе через корень чётной кратности (например, $(x-a)^2$) — не меняется.
6. Выбрать интервалы, которые удовлетворяют знаку исходного неравенства.
7. Записать ответ в виде объединения этих интервалов.

Пример 1

Решить неравенство $\frac{(x^2 - 4)(x+1)}{x-3} \le 0$.

1. Неравенство уже приведено к нужному виду. Разложим числитель на множители: $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)(x+1)}{x-3}$.

2. ОДЗ: Знаменатель не равен нулю, $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

3. Нули функции: $f(x) = 0$, если числитель равен нулю: $(x-2)(x+2)(x+1) = 0$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$, $x_3 = -1$.

4. Нанесение точек на ось: Отметим на оси нули $-2, -1, 2$ и точку разрыва $3$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому нули будут закрашенными, а точка разрыва — выколотой.

 - + - + -----⚫-------⚫-------⚫-------⚪------> -2 -1 2 3 x

5. Определение знаков: Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(3; +\infty)$, например, $x=4$.
$f(4) = \frac{(4-2)(4+2)(4+1)}{4-3} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 5}{1} > 0$. Ставим знак "+".
Все корни $(-2, -1, 2, 3)$ имеют кратность 1 (нечётную), поэтому знаки будут чередоваться: "+", "-", "+", "-".

6. Выбор интервалов: Нам нужны интервалы, где $f(x) \le 0$. Это интервалы со знаком "минус", включая закрашенные концы.
Получаем объединение интервалов: $(-\infty; -2] \cup [-1; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 2]$.

Пример 2

Решить неравенство $\frac{(x-5)^2 (x+1)}{\sqrt{x+4}(x-8)} \ge 0$.

1. Неравенство имеет вид $f(x) \ge 0$.

2. ОДЗ:
- Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: $x+4 > 0 \implies x > -4$.
- Знаменатель не равен нулю: $x-8 \neq 0 \implies x \neq 8$.
Итоговая ОДЗ: $x \in (-4; 8) \cup (8; +\infty)$.

3. Нули функции: $f(x) = 0$, если числитель равен нулю: $(x-5)^2(x+1) = 0$.
Корни: $x_1 = 5$ (корень кратности 2, чётная), $x_2 = -1$. Оба корня входят в ОДЗ.

4. Нанесение точек на ось: Наносим на ось точки $-1, 5, 8$, учитывая ОДЗ ($x>-4$). Точки $-1$ и $5$ — закрашенные (нестрогое неравенство), точка $8$ — выколотая (знаменатель).

 + + - +(-4)------⚫-------⚫---//---⚪-------> -1 5 8 x

5. Определение знаков: Возьмём пробную точку из интервала $(8; +\infty)$, например, $x=10$.
$f(10) = \frac{(10-5)^2(10+1)}{\sqrt{10+4}(10-8)} = \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
- При переходе через $x=8$ (корень нечётной кратности 1) знак меняется на "-".
- При переходе через $x=5$ (корень чётной кратности 2) знак не меняется, остаётся "-".
- При переходе через $x=-1$ (корень нечётной кратности 1) знак меняется на "+".

6. Выбор интервалов: Нам нужны интервалы, где $f(x) \ge 0$. Это интервалы со знаком "+" и отдельные закрашенные точки.
- Интервалы: $(-4; -1]$ и $(8; +\infty)$.
- Отдельно стоящая точка $x=5$ также является решением, так как в ней $f(5)=0$, что удовлетворяет условию $f(x) \ge 0$.
Объединяем полученные множества.

Ответ: $x \in (-4; -1] \cup \{5\} \cup (8; +\infty)$.