Номер 1, страница 312, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Применение свойств функций для решения уравнений (неравенств).

Решение многих уравнений и неравенств, которые трудно или невозможно решить стандартными алгебраическими методами, можно найти, исследуя свойства функций, входящих в их состав. Основные свойства, которые при этом используются, — это монотонность, ограниченность, четность/нечетность и периодичность.

Использование монотонности функции

Монотонная функция — это функция, которая на всей своей области определения только возрастает или только убывает.
Свойство для уравнений: Если функция $f(x)$ строго монотонна на некотором промежутке, то уравнение $f(x) = C$ (где $C$ — константа) может иметь на этом промежутке не более одного корня. Аналогично, если $f(x)$ — строго возрастающая, а $g(x)$ — строго убывающая, то уравнение $f(x) = g(x)$ также имеет не более одного корня.
Метод решения:
1. Привести уравнение к виду $f(x) = C$ или $f(x) = g(x)$.
2. Доказать монотонность функции (или функций).
3. Подобрать один корень (например, просто подставив целые числа).
4. Сделать вывод, что благодаря монотонности других корней нет.

Пример 1. Решить уравнение $ \sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} + x^2 = 7 $.
Решение:
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств: $ x-1 \ge 0 $ и $ x+2 \ge 0 $, откуда $ x \ge 1 $.
Рассмотрим функцию $ f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} + x^2 $. Эта функция определена на промежутке $ [1, +\infty) $.
Функции $ y_1 = \sqrt{x-1} $, $ y_2 = \sqrt{x+2} $ и $ y_3 = x^2 $ являются возрастающими на промежутке $ [1, +\infty) $. Сумма возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, $ f(x) $ — строго возрастающая функция на своей ОДЗ.
Это означает, что уравнение $ f(x) = 7 $ может иметь не более одного корня.
Попробуем подобрать корень. Проверим $ x=2 $:
$ \sqrt{2-1} + \sqrt{2+2} + 2^2 = \sqrt{1} + \sqrt{4} + 4 = 1 + 2 + 4 = 7 $.
Равенство верное, значит, $ x=2 $ является корнем уравнения.
Так как функция $ f(x) $ строго возрастает, этот корень — единственный.
Ответ: $ x=2 $.

Свойство для неравенств: Если функция $ f(x) $ строго возрастает, то неравенство $ f(a) > f(b) $ равносильно неравенству $ a > b $. Если функция $ f(x) $ строго убывает, то неравенство $ f(a) > f(b) $ равносильно неравенству $ a < b $.

Пример 2. Решить неравенство $ \log_3(x+2) + x > 2 $.
Решение:
ОДЗ: $ x+2 > 0 \implies x > -2 $.
Рассмотрим функцию $ f(x) = \log_3(x+2) + x $. Она определена на $ (-2, +\infty) $.
Функция $ y_1 = \log_3(x+2) $ является возрастающей, функция $ y_2 = x $ также является возрастающей. Их сумма $ f(x) $ — строго возрастающая функция.
Найдем значение $ a $, при котором $ f(a) = 2 $.
$ \log_3(a+2) + a = 2 $.
Методом подбора находим, что $ a=1 $: $ \log_3(1+2) + 1 = \log_3(3) + 1 = 1 + 1 = 2 $.
Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде $ f(x) > f(1) $.
Поскольку $ f(x) $ — строго возрастающая функция, это неравенство равносильно неравенству $ x > 1 $.
Учитывая ОДЗ ($ x > -2 $), получаем окончательное решение.
Ответ: $ x \in (1, +\infty) $.

Использование ограниченности функции

Многие функции имеют ограниченную область значений. Например, $ -1 \le \sin x \le 1 $, $ \cos x \le 1 $, $ a^{x} > 0 $, $ \sqrt{x} \ge 0 $, $ x^2 \ge 0 $.
Свойство для уравнений: Если дано уравнение $ f(x) = g(x) $, и известно, что на всей ОДЗ выполняются неравенства $ f(x) \le A $ и $ g(x) \ge A $ для некоторого числа $ A $, то равенство возможно тогда и только тогда, когда $ f(x) $ и $ g(x) $ одновременно равны $ A $. То есть уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases} $

Пример 3. Решить уравнение $ \cos(x) = x^2 + 1 $.
Решение:
Оценим левую и правую части уравнения.
Для левой части известно, что $ \cos(x) \le 1 $ для любого $ x $.
Для правой части: $ x^2 \ge 0 $, следовательно, $ x^2+1 \ge 1 $ для любого $ x $.
Исходное равенство $ \cos(x) = x^2 + 1 $ возможно только в том случае, если обе части одновременно равны 1.
Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} \cos(x) = 1 \\ x^2 + 1 = 1 \end{cases} $
Из второго уравнения находим $ x^2=0 $, откуда $ x=0 $.
Подставляем это значение в первое уравнение: $ \cos(0) = 1 $. Равенство верное.
Таким образом, $ x=0 $ является единственным решением системы и, следовательно, исходного уравнения.
Ответ: $ x=0 $.

Свойство для неравенств: Если нужно решить неравенство $ f(x) \ge g(x) $, и известно, что $ f(x) \le A $ и $ g(x) \ge B $ при $ A < B $, то неравенство не имеет решений.

Пример 4. Решить неравенство $ \sin^7(x) - \cos^4(x) \ge 2 $.
Решение:
Оценим левую часть неравенства. Обозначим ее $ L(x) = \sin^7(x) - \cos^4(x) $.
Максимальное значение функции $ \sin(x) $ равно 1, значит $ \sin^7(x) \le 1 $.
Минимальное значение функции $ \cos^4(x) $ равно 0 (т.к. степень четная), значит $ \cos^4(x) \ge 0 $, а $ -\cos^4(x) \le 0 $.
Сложив эти оценки, получим: $ L(x) = \sin^7(x) + (-\cos^4(x)) \le 1 + 0 = 1 $.
Таким образом, левая часть неравенства всегда не больше 1.
Исходное неравенство требует, чтобы левая часть была больше или равна 2.
Неравенство $ L(x) \ge 2 $ не может выполняться ни при каких значениях $ x $, так как $ L(x) \le 1 $.
Ответ: решений нет.

Использование четности/нечетности функции

Функция $ f(x) $ называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и $ f(-x) = f(x) $. График такой функции симметричен относительно оси Oy.
Функция $ f(x) $ называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и $ f(-x) = -f(x) $. График такой функции симметричен относительно начала координат.
Свойство: Если уравнение $ f(x)=0 $ составлено из четных функций, и $ x_0 $ является его корнем, то $ -x_0 $ также будет корнем. Это позволяет сократить поиск, рассматривая только $ x \ge 0 $.

Пример 5. Проанализировать количество корней уравнения $ |x| + x^4 = \cos(x) $.
Решение:
Рассмотрим функции в левой и правой частях.
$ f(x) = |x| + x^4 $. Проверим на четность: $ f(-x) = |-x| + (-x)^4 = |x| + x^4 = f(x) $. Функция четная.
$ g(x) = \cos(x) $. Это известная четная функция: $ g(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = g(x) $.
Так как обе части уравнения являются четными функциями, то если $ x_0 $ — корень уравнения, то и $ -x_0 $ также будет корнем. Это позволяет нам искать только неотрицательные корни ($ x \ge 0 $).
Для $ x \ge 0 $ уравнение принимает вид: $ x + x^4 = \cos(x) $.
Перенесем все в одну сторону: $ h(x) = x + x^4 - \cos(x) = 0 $.
Исследуем функцию $ h(x) $ на монотонность при $ x \ge 0 $. Найдем производную:
$ h'(x) = (x + x^4 - \cos(x))' = 1 + 4x^3 + \sin(x) $.
При $ x \ge 0 $ имеем $ 4x^3 \ge 0 $, а $ \sin(x) \ge -1 $.
Тогда $ h'(x) = 1 + 4x^3 + \sin(x) \ge 1 + 0 + (-1) = 0 $.
Равенство $ h'(x)=0 $ возможно, только если $ 1+4x^3=1 $ и $ \sin(x)=-1 $ одновременно, что невозможно. Значит, $ h'(x) > 0 $ для всех $ x \ge 0 $.
Следовательно, функция $ h(x) $ является строго возрастающей на промежутке $ [0, +\infty) $.
Значит, уравнение $ h(x)=0 $ может иметь не более одного неотрицательного корня.
Проверим значения на концах: $ h(0) = 0+0-\cos(0) = -1 < 0 $.
$ h(\pi/2) = \pi/2 + (\pi/2)^4 - \cos(\pi/2) = \pi/2 + (\pi/2)^4 > 0 $.
Так как функция $ h(x) $ непрерывна и возрастает, и принимает значения разного знака на отрезке $ [0, \pi/2] $, она имеет ровно один корень $ x_0 $ на этом отрезке.
Мы нашли один положительный корень $ x_0 $. Поскольку исходное уравнение составлено из четных функций, то $ -x_0 $ также является корнем. Проверим $ x=0 $: $ |0|+0^4 = 0 $, а $ \cos(0)=1 $. $ 0 \ne 1 $, так что $ x=0 $ не корень.
Таким образом, уравнение имеет ровно два корня: $ x_0 $ и $ -x_0 $.
Ответ: Уравнение имеет ровно два корня, которые являются противоположными числами ($ x_0 $ и $ -x_0 $).