Номер 3, страница 6 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 2. Сила тока. Глава 1. Постоянный электрический ток - номер 3, страница 6.

3. В проводнике, площадь поперечного сечения которого $1 \text{ мм}^2$, сила тока 1,6 А. Концентрация электронов в проводнике $10^{28} \text{ м}^{-3}$ при температуре 20 °С. Найдите среднюю скорость направленного движения электронов и сравните её с тепловой скоростью электронов.

Дано:

Площадь поперечного сечения проводника, $S = 1 \text{ мм}^2$

Сила тока, $I = 1,6 \text{ А}$

Концентрация электронов, $n = 10^{28} \text{ м}^{-3}$

Температура, $t = 20 \text{ °C}$

Справочные данные:

Элементарный заряд, $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса электрона, $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Постоянная Больцмана, $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$

Перевод в систему СИ:

$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 10^{-6} \text{ м}^2$

$T = t(\text{°C}) + 273,15 = 20 + 273,15 = 293,15 \text{ К}$

Найти:

Среднюю скорость направленного движения электронов ($v_{др}$)

Тепловую скорость электронов ($v_{тепл}$)

Сравнить $v_{др}$ и $v_{тепл}$

Решение:

Найдите среднюю скорость направленного движения электронов

Сила тока в проводнике связана со средней скоростью направленного (дрейфового) движения электронов $v_{др}$ следующей формулой:

$I = n \cdot e \cdot v_{др} \cdot S$

где $n$ — концентрация электронов, $e$ — модуль заряда электрона, $S$ — площадь поперечного сечения проводника.

Выразим из этой формулы скорость $v_{др}$:

$v_{др} = \frac{I}{n \cdot e \cdot S}$

Подставим числовые значения:

$v_{др} = \frac{1,6 \text{ А}}{10^{28} \text{ м}^{-3} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{1,6}{1,6 \cdot 10^{28-19-6}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{1}{10^3} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: средняя скорость направленного движения электронов равна $10^{-3} \text{ м/с}$ (что составляет $1 \text{ мм/с}$).

Сравните её с тепловой скоростью электронов

Для сравнения сначала необходимо найти тепловую скорость. Тепловая скорость — это скорость хаотического движения электронов, обусловленного температурой. Средняя кинетическая энергия теплового движения электрона связана с абсолютной температурой $T$ по формуле:

$\frac{m_e v_{тепл}^2}{2} = \frac{3}{2} k T$

где $m_e$ — масса электрона, $k$ — постоянная Больцмана.

Выразим из этой формулы тепловую скорость $v_{тепл}$:

$v_{тепл} = \sqrt{\frac{3 k T}{m_e}}$

Подставим числовые значения:

$v_{тепл} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 293,15 \text{ К}}{9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{\frac{1214,1 \cdot 10^{-23}}{9,11 \cdot 10^{-31}}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{133,3 \cdot 10^8} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 11,55 \cdot 10^4 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1,16 \cdot 10^5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Теперь выполним сравнение. Скорость направленного движения $v_{др} = 10^{-3} \text{ м/с}$, а тепловая скорость $v_{тепл} \approx 1,16 \cdot 10^5 \text{ м/с}$ (или $116 \text{ км/с}$).

Найдем их отношение:

$\frac{v_{тепл}}{v_{др}} = \frac{1,16 \cdot 10^5 \text{ м/с}}{10^{-3} \text{ м/с}} = 1,16 \cdot 10^8$

Ответ: тепловая скорость электронов ($v_{тепл} \approx 1,16 \cdot 10^5 \text{ м/с}$) примерно в $1,16 \cdot 10^8$ раз (более чем в 100 миллионов раз) превышает среднюю скорость их направленного движения. Упорядоченное движение, создающее ток, является очень медленным дрейфом на фоне чрезвычайно быстрого хаотического теплового движения электронов.