Номер 3, страница 35 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 11. Тепловое действие электрического тока. Закон Джоуля - Ленца. Глава 1. Постоянный электрический ток - номер 3, страница 35.

3. Найдите сопротивление $R$ двух одинаковых резисторов, если известно, что при подключении их к источнику тока с внутренним сопротивлением $r$ мощность, выделяемая при их последовательном и параллельном соединении, одинакова.

Дано:

Два одинаковых резистора с сопротивлением: $R$

Источник тока с внутренним сопротивлением: $r$

Мощность, выделяемая на резисторах при последовательном соединении: $P_{посл}$

Мощность, выделяемая на резисторах при параллельном соединении: $P_{пар}$

По условию: $P_{посл} = P_{пар}$

Найти:

$R$

Решение:

Мощность, выделяемая во внешней цепи, определяется по формуле $P = I^2 R_{внешн}$, где $I$ — сила тока в цепи, а $R_{внешн}$ — сопротивление внешней цепи. Сила тока для полной цепи находится по закону Ома: $I = \frac{\varepsilon}{R_{внешн} + r}$, где $\varepsilon$ — ЭДС источника тока.

Таким образом, формула для мощности приобретает вид: $P = \left(\frac{\varepsilon}{R_{внешн} + r}\right)^2 R_{внешн}$.

1. Рассмотрим случай последовательного соединения резисторов.

Внешнее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений резисторов:

$R_{посл} = R + R = 2R$

Мощность, выделяемая на этих резисторах:

$P_{посл} = \left(\frac{\varepsilon}{2R + r}\right)^2 \cdot 2R$

2. Рассмотрим случай параллельного соединения резисторов.

Внешнее сопротивление цепи рассчитывается по формуле:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$

Отсюда, $R_{пар} = \frac{R}{2}$.

Мощность, выделяемая на этих резисторах:

$P_{пар} = \left(\frac{\varepsilon}{\frac{R}{2} + r}\right)^2 \cdot \frac{R}{2}$

3. Приравняем мощности, согласно условию задачи.

$P_{посл} = P_{пар}$

$\left(\frac{\varepsilon}{2R + r}\right)^2 \cdot 2R = \left(\frac{\varepsilon}{\frac{R}{2} + r}\right)^2 \cdot \frac{R}{2}$

Сократим обе части уравнения на $\varepsilon^2$ и $R$ (так как $R \neq 0$ и $\varepsilon \neq 0$):

$\frac{2}{(2R + r)^2} = \frac{1/2}{(\frac{R}{2} + r)^2}$

Перепишем уравнение в более удобном виде:

$4 \left(\frac{R}{2} + r\right)^2 = (2R + r)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как сопротивления $R$ и $r$ являются положительными величинами, выражения в скобках также положительны.

$2\left(\frac{R}{2} + r\right) = 2R + r$

Раскроем скобки:

$R + 2r = 2R + r$

Сгруппируем слагаемые с $R$ и $r$:

$2r - r = 2R - R$

$r = R$

Ответ: Сопротивление каждого резистора равно внутреннему сопротивлению источника тока, то есть $R = r$.