Номер 3, страница 231 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 62. Классификация элементарных частиц. Глава 8. Элементарные частицы - номер 3, страница 231.

3. Сформулируйте принцип Паули. Как распределяются фермионы по энергетическим состояниям?

Принцип Паули (или принцип запрета Паули) — это фундаментальный принцип квантовой механики, сформулированный Вольфгангом Паули в 1925 году. Он утверждает, что два или более идентичных фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии в пределах одной квантовой системы.

Фермионы — это частицы с полуцелым спином (например, $1/2, 3/2, \dots$), такие как электроны, протоны и нейтроны. Квантовое состояние частицы, например электрона в атоме, полностью описывается набором квантовых чисел. Для электрона это четыре числа:

1. Главное квантовое число ($n$), определяющее энергетический уровень.

2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число ($l$), определяющее форму атомной орбитали.

3. Магнитное квантовое число ($m_l$), определяющее ориентацию орбитали в пространстве.

4. Спиновое проекционное квантовое число ($m_s$), определяющее проекцию собственного момента импульса (спина) электрона (принимает значения $+1/2$ или $-1/2$).

Таким образом, согласно принципу Паули, в одном атоме не может быть двух электронов с одинаковым набором всех четырех квантовых чисел. Это означает, что на одной атомной орбитали (которая характеризуется числами $n, l, m_l$) может находиться не более двух электронов, причём их спины должны быть антипараллельны (иметь разные знаки $m_s$). Этот принцип является основой для объяснения строения электронных оболочек атомов и периодической системы химических элементов.

Распределение фермионов по энергетическим состояниям является прямым следствием принципа Паули. Поскольку фермионы не могут занимать одно и то же квантовое состояние, они вынуждены последовательно заполнять доступные энергетические уровни "снизу вверх", то есть начиная с самого низкого по энергии.

При абсолютном нуле температуры ($T=0$ K) система фермионов находится в своем основном (наименее энергетическом) состоянии. Фермионы заполняют все энергетические уровни от самого нижнего до некоторого максимального уровня, который называется энергией Ферми ($E_F$). Все состояния с энергией $E \le E_F$ оказываются занятыми, а все состояния с энергией $E > E_F$ — свободными. Совокупность заполненных состояний называют "морем Ферми". Важно, что даже при $T=0$ K фермионы в системе обладают значительной кинетической энергией.

При температурах выше абсолютного нуля ($T>0$ K) распределение фермионов по энергиям описывается статистикой Ферми — Дирака. Вероятность $f(E)$ того, что квантовое состояние с энергией $E$ будет занято фермионом, определяется функцией распределения Ферми — Дирака:

$f(E) = \frac{1}{e^{(E - \mu) / (k_B T)} + 1}$

где $E$ — энергия уровня, $\mu$ — химический потенциал (для фермионных систем при $T \to 0$ K, $\mu \to E_F$), $k_B$ — постоянная Больцмана, а $T$ — абсолютная температура.

С ростом температуры функция распределения "размывается" в окрестности энергии Ферми: часть фермионов получает тепловую энергию, достаточную для перехода на уровни с энергией $E > E_F$, оставляя при этом свободные места ("дырки") на уровнях с энергией $E < E_F$. В отличие от бозонов (частиц с целым спином), которые могут в неограниченном количестве скапливаться на самом низком энергетическом уровне (образуя конденсат Бозе — Эйнштейна), фермионы распределяются по широкому диапазону энергий, подчиняясь принципу запрета.

Ответ: Принцип Паули утверждает, что два идентичных фермиона не могут занимать одно и то же квантовое состояние. Из-за этого запрета фермионы в системе последовательно заполняют энергетические состояния, начиная с наименьшей энергии. При абсолютном нуле температуры все состояния до энергии Ферми ($E_F$) заполнены, а все состояния выше — пусты. При температурах выше нуля распределение описывается статистикой Ферми — Дирака, согласно которой фермионы могут за счет тепловой энергии занимать состояния с энергией выше $E_F$, оставляя свободные места на уровнях ниже $E_F$.