Страница 231 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

3. Сформулируйте принцип Паули. Как распределяются фермионы по энергетическим состояниям?

Принцип Паули (или принцип запрета Паули) — это фундаментальный принцип квантовой механики, сформулированный Вольфгангом Паули в 1925 году. Он утверждает, что два или более идентичных фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии в пределах одной квантовой системы.

Фермионы — это частицы с полуцелым спином (например, $1/2, 3/2, \dots$), такие как электроны, протоны и нейтроны. Квантовое состояние частицы, например электрона в атоме, полностью описывается набором квантовых чисел. Для электрона это четыре числа:

1. Главное квантовое число ($n$), определяющее энергетический уровень.

2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число ($l$), определяющее форму атомной орбитали.

3. Магнитное квантовое число ($m_l$), определяющее ориентацию орбитали в пространстве.

4. Спиновое проекционное квантовое число ($m_s$), определяющее проекцию собственного момента импульса (спина) электрона (принимает значения $+1/2$ или $-1/2$).

Таким образом, согласно принципу Паули, в одном атоме не может быть двух электронов с одинаковым набором всех четырех квантовых чисел. Это означает, что на одной атомной орбитали (которая характеризуется числами $n, l, m_l$) может находиться не более двух электронов, причём их спины должны быть антипараллельны (иметь разные знаки $m_s$). Этот принцип является основой для объяснения строения электронных оболочек атомов и периодической системы химических элементов.

Распределение фермионов по энергетическим состояниям является прямым следствием принципа Паули. Поскольку фермионы не могут занимать одно и то же квантовое состояние, они вынуждены последовательно заполнять доступные энергетические уровни "снизу вверх", то есть начиная с самого низкого по энергии.

При абсолютном нуле температуры ($T=0$ K) система фермионов находится в своем основном (наименее энергетическом) состоянии. Фермионы заполняют все энергетические уровни от самого нижнего до некоторого максимального уровня, который называется энергией Ферми ($E_F$). Все состояния с энергией $E \le E_F$ оказываются занятыми, а все состояния с энергией $E > E_F$ — свободными. Совокупность заполненных состояний называют "морем Ферми". Важно, что даже при $T=0$ K фермионы в системе обладают значительной кинетической энергией.

При температурах выше абсолютного нуля ($T>0$ K) распределение фермионов по энергиям описывается статистикой Ферми — Дирака. Вероятность $f(E)$ того, что квантовое состояние с энергией $E$ будет занято фермионом, определяется функцией распределения Ферми — Дирака:

$f(E) = \frac{1}{e^{(E - \mu) / (k_B T)} + 1}$

где $E$ — энергия уровня, $\mu$ — химический потенциал (для фермионных систем при $T \to 0$ K, $\mu \to E_F$), $k_B$ — постоянная Больцмана, а $T$ — абсолютная температура.

С ростом температуры функция распределения "размывается" в окрестности энергии Ферми: часть фермионов получает тепловую энергию, достаточную для перехода на уровни с энергией $E > E_F$, оставляя при этом свободные места ("дырки") на уровнях с энергией $E < E_F$. В отличие от бозонов (частиц с целым спином), которые могут в неограниченном количестве скапливаться на самом низком энергетическом уровне (образуя конденсат Бозе — Эйнштейна), фермионы распределяются по широкому диапазону энергий, подчиняясь принципу запрета.

Ответ: Принцип Паули утверждает, что два идентичных фермиона не могут занимать одно и то же квантовое состояние. Из-за этого запрета фермионы в системе последовательно заполняют энергетические состояния, начиная с наименьшей энергии. При абсолютном нуле температуры все состояния до энергии Ферми ($E_F$) заполнены, а все состояния выше — пусты. При температурах выше нуля распределение описывается статистикой Ферми — Дирака, согласно которой фермионы могут за счет тепловой энергии занимать состояния с энергией выше $E_F$, оставляя свободные места на уровнях ниже $E_F$.

4. Как была обнаружена первая античастица — позитрон?

Открытие первой античастицы, позитрона, является классическим примером взаимодействия теоретической и экспериментальной физики и состоит из двух ключевых этапов: теоретического предсказания и экспериментального обнаружения.

Теоретическое предсказание (1928–1931 гг.)

В 1928 году британский физик-теоретик Поль Дирак вывел релятивистское квантовое уравнение для описания электрона. Это уравнение, известное сегодня как уравнение Дирака, имело два набора решений. Один набор описывал обычный электрон с отрицательным зарядом. Другой же соответствовал состояниям с отрицательной энергией, что на тот момент казалось физически бессмысленным. Чтобы разрешить эту проблему, Дирак в 1931 году предположил, что «дырки» в море частиц с отрицательной энергией должны проявлять себя как реально существующие частицы. Такая «дырка» вела бы себя как частица, обладающая той же массой, что и электрон, но противоположным, то есть положительным, электрическим зарядом. Так была теоретически предсказана первая античастица — «антиэлектрон», позже названная позитроном.

Экспериментальное обнаружение (1932 г.)

Американский физик Карл Андерсон, исследуя космические лучи с помощью камеры Вильсона, помещенной в сильное магнитное поле, сделал решающее наблюдение. Камера Вильсона — это детектор, который позволяет видеть следы (треки) пролетающих через нее заряженных частиц в виде цепочек капель жидкости. Магнитное поле искривляет траектории этих частиц, причем направление изгиба зависит от знака заряда, а радиус кривизны — от импульса частицы.

2 августа 1932 года Андерсон получил фотографию трека частицы, которая вела себя необычно. Чтобы определить ключевые свойства частицы, он поместил в центр камеры свинцовую пластину толщиной 6 мм. Анализ трека, прошедшего через эту пластину, показал:

Во-первых, частица двигалась снизу вверх. Это было установлено по тому, что после прохождения свинцовой пластины ее скорость уменьшилась (из-за потери энергии), а значит, радиус кривизны траектории в магнитном поле стал меньше.

Во-вторых, направление изгиба трека было противоположным тому, которое наблюдалось бы для электрона. Это однозначно свидетельствовало о положительном заряде частицы.

В-третьих, по степени ионизации (толщине трека) и величине кривизны было установлено, что масса частицы очень близка к массе электрона и во много раз меньше массы протона (единственной известной на тот момент стабильной положительно заряженной частицы). Если бы это был протон, его трек был бы намного толще и менее изогнутым при той же энергии.

Таким образом, Андерсон экспериментально обнаружил новую частицу, свойства которой — масса, равная массе электрона, и положительный элементарный заряд — в точности совпадали с предсказаниями теории Дирака. Андерсон назвал эту частицу «позитроном». Это открытие стало первым экспериментальным подтверждением существования антиматерии. За него Карл Андерсон в 1936 году был удостоен Нобелевской премии по физике.

Ответ: Позитрон был открыт в 1932 году Карлом Андерсоном во время изучения космических лучей с помощью камеры Вильсона в магнитном поле. Андерсон сфотографировал трек частицы, которая изгибалась в магнитном поле в сторону, противоположную электрону, что указывало на ее положительный заряд. Благодаря свинцовой пластине, установленной в камере, он смог определить направление движения частицы и доказать, что ее масса примерно равна массе электрона, а не протона. Эта частица оказалась «антиэлектроном» (позитроном), существование которого было теоретически предсказано Полем Дираком четырьмя годами ранее.

5. Охарактеризуйте такие процессы взаимопревращения частиц, как аннигиляция и рождение пары.

Аннигиляция и рождение пары — это два взаимообратных процесса, демонстрирующие фундаментальный принцип эквивалентности массы и энергии, выраженный знаменитой формулой Эйнштейна $E=mc^2$. Эти процессы являются ярким примером взаимопревращения частиц и играют ключевую роль в физике элементарных частиц и астрофизике.

Аннигиляция

Аннигиляция (от лат. annihilatio — «уничтожение», «исчезновение») — это процесс взаимодействия элементарной частицы со своей античастицей, в результате которого они обе исчезают, а их масса и кинетическая энергия полностью преобразуются в энергию других частиц, чаще всего фотонов (гамма-квантов).

Самым известным примером является аннигиляция пары электрон-позитрон. Позитрон ($e^+$) является античастицей для электрона ($e^-$). При их столкновении они исчезают, и рождаются, как правило, два гамма-кванта.

Уравнение этой реакции выглядит так:

$e^- + e^+ \rightarrow 2\gamma$

Рождение именно двух (или более), а не одного фотона, диктуется законом сохранения импульса. Если до столкновения суммарный импульс пары электрон-позитрон в их системе центра масс был равен нулю, то рождение одного фотона нарушило бы этот закон, так как фотон всегда обладает импульсом. Поэтому рождаются как минимум два фотона, которые разлетаются в противоположных направлениях, чтобы их суммарный импульс остался равным нулю.

Согласно закону сохранения энергии, суммарная энергия родившихся фотонов равна полной энергии исходной пары, которая складывается из их энергии покоя ($2m_e c^2$) и их кинетической энергии. Минимальная энергия каждого из гамма-квантов, возникающих при аннигиляции покоящейся пары, равна энергии покоя электрона: $E_\gamma = m_e c^2 \approx 0.511$ МэВ.

Ответ: Аннигиляция — это процесс превращения пары частица-античастица при их столкновении в другие частицы (обычно в фотоны), в ходе которого масса исходных частиц преобразуется в энергию в соответствии с принципом эквивалентности массы и энергии.

Рождение пары

Рождение пары — это процесс, обратный аннигиляции, при котором из энергии образуется пара частица-античастица. Этот процесс обычно происходит при взаимодействии высокоэнергетического фотона с веществом, а именно с полем атомного ядра.

Для того чтобы произошел процесс рождения пары электрон-позитрон, энергия фотона ($E_\gamma$) должна быть не меньше суммарной энергии покоя создаваемых частиц:

$E_\gamma \ge 2m_e c^2 \approx 1.022$ МэВ

Это значение называется пороговой энергией для данного процесса. Если энергия фотона превышает этот порог, то избыток энергии ($E_\gamma - 2m_e c^2$) переходит в кинетическую энергию рожденных электрона и позитрона.

Процесс рождения пары не может произойти в пустом пространстве (вакууме), так как это нарушило бы одновременно законы сохранения энергии и импульса. Поэтому для рождения пары необходимо присутствие третьего тела (обычно тяжелого атомного ядра), которое взаимодействует с фотоном и забирает на себя часть импульса. Реакция в поле ядра записывается так:

$\gamma + \text{Ядро} \rightarrow e^- + e^+ + \text{Ядро'}$

Ядро получает некоторый импульс отдачи, но из-за своей большой массы забирает очень малую долю энергии, поэтому практически вся энергия фотона идет на создание пары и сообщение ей кинетической энергии.

Ответ: Рождение пары — это процесс образования пары частица-античастица (например, электрон-позитрон) из энергии фотона при его взаимодействии с полем атомного ядра. Этот процесс возможен только в том случае, если энергия фотона превышает суммарную энергию покоя рождающихся частиц.