Номер 3, страница 387 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Как по цвету и температуре астрономы определяют радиус звезды?

Решение

Для определения радиуса звезды по её цвету и температуре астрономы используют комбинацию наблюдательных данных и фундаментальных физических законов. Процесс можно разделить на несколько этапов.

1. Определение температуры по цвету звезды

Цвет звезды напрямую связан с температурой её поверхности (фотосферы). Звезда излучает энергию подобно абсолютно черному телу, и пик этого излучения приходится на определённую длину волны, которая зависит от температуры. Эта зависимость описывается законом смещения Вина:

$ \lambda_{max} = \frac{b}{T} $

где:

• $ \lambda_{max} $ — длина волны максимального излучения.
• $ T $ — эффективная температура поверхности звезды.
• $ b $ — постоянная Вина ($ \approx 2.9 \times 10^{-3} \text{ м} \cdot \text{К} $).

Анализируя спектр звезды, астрономы находят $ \lambda_{max} $, что позволяет им вычислить температуру $ T $. Горячие звезды имеют голубой цвет, так как их $ \lambda_{max} $ находится в синей/ультрафиолетовой части спектра. Холодные звёзды — красные, так как их пик излучения смещён в красную/инфракрасную область.

2. Определение светимости звезды

Одной лишь температуры недостаточно для вычисления радиуса. Необходимо знать светимость ($ L $) — полную мощность, излучаемую звездой во всех направлениях. Светимость является внутренней характеристикой звезды.

Чтобы её определить, астрономам нужно измерить две величины:

• Видимый блеск (или освещённость $ E $), то есть количество энергии, приходящее от звезды на единицу площади на Земле. Эта величина измеряется с помощью фотометров.
• Расстояние до звезды ($ d $), которое для близких звёзд чаще всего определяют методом годичного параллакса.

Зная эти величины, светимость находят из соотношения, связывающего её с освещённостью и расстоянием:

$ L = E \cdot 4\pi d^2 $

3. Вычисление радиуса по закону Стефана-Больцмана

Когда известны и температура ($ T $), и светимость ($ L $), радиус звезды ($ R $) можно найти с помощью закона Стефана-Больцмана. Этот закон устанавливает связь между светимостью, температурой и площадью излучающей поверхности тела.

Для звезды, которую можно считать сферой с радиусом $ R $, закон имеет вид:

$ L = 4\pi R^2 \sigma T^4 $

где $ \sigma $ — постоянная Стефана-Больцмана ($ \approx 5.67 \times 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} $).

Алгебраически выразив из этой формулы радиус $ R $, получаем итоговое расчётное уравнение:

$ R = \sqrt{\frac{L}{4\pi \sigma T^4}} $

Таким образом, хотя вопрос упоминает только цвет и температуру, для нахождения радиуса критически важно также определить светимость звезды, для чего, в свою очередь, требуется знать расстояние до неё.

Ответ: Астрономы определяют радиус звезды, последовательно выполняя следующие шаги: 1) По цвету (спектру) звезды с помощью закона Вина находят её температуру. 2) Измерив видимый блеск звезды и расстояние до неё, вычисляют её полную светимость (мощность излучения). 3) Используя закон Стефана-Больцмана, который связывает светимость, температуру и радиус, по формуле $ R = \sqrt{\frac{L}{4\pi \sigma T^4}} $ находят искомый радиус звезды.