Номер 1, страница 105 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Какие законы изменения магнитного потока и ЭДС индукции справедливы при вращении рамки? Запишите формулу зависимости ЭДС индукции от времени, если рамка имеет несколько витков.

Какие законы изменения магнитного потока и ЭДС индукции справедливы при вращении рамки?

При равномерном вращении проводящей рамки с площадью $S$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$ с постоянной угловой скоростью $\omega$, магнитный поток, пронизывающий рамку, непрерывно изменяется. Угол $\alpha$ между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали к плоскости рамки $\vec{n}$ изменяется со временем по линейному закону $\alpha = \omega t$, если в начальный момент времени ($t=0$) плоскость рамки была перпендикулярна линиям магнитной индукции ($\alpha=0$).

Магнитный поток $\Phi$ через рамку определяется как:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

Подставляя зависимость угла от времени, получаем закон изменения магнитного потока:

$\Phi(t) = B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Из этой формулы видно, что магнитный поток изменяется по гармоническому закону (в данном случае, по закону косинуса).

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции ($\mathcal{E}_i$), возникающая в рамке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

$\mathcal{E}_i = - \frac{d\Phi}{dt}$

Чтобы найти закон изменения ЭДС индукции, необходимо взять производную от выражения для магнитного потока по времени:

$\mathcal{E}_i(t) = - \frac{d}{dt}(B \cdot S \cdot \cos(\omega t)) = -B \cdot S \cdot (-\omega \cdot \sin(\omega t)) = B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Таким образом, ЭДС индукции также изменяется по гармоническому закону (в данном случае, по закону синуса), но со сдвигом фаз на $\frac{\pi}{2}$ относительно магнитного потока.

Ответ: При вращении рамки в однородном магнитном поле магнитный поток изменяется по гармоническому закону (закону косинуса), а возникающая в рамке ЭДС индукции также изменяется по гармоническому закону (закону синуса).

Запишите формулу зависимости ЭДС индукции от времени, если рамка имеет несколько витков.

Если рамка (или катушка) состоит не из одного, а из $N$ одинаковых витков, то полный магнитный поток (потокосцепление) $\Psi$, пронизывающий все витки, будет в $N$ раз больше магнитного потока $\Phi$ через один виток:

$\Psi(t) = N \cdot \Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Закон электромагнитной индукции для катушки из $N$ витков записывается как:

$\mathcal{E}_i = - \frac{d\Psi}{dt}$

Продифференцировав выражение для потокосцепления по времени, получим формулу для ЭДС индукции:

$\mathcal{E}_i(t) = - \frac{d}{dt}(N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)) = -N \cdot B \cdot S \cdot (-\omega \cdot \sin(\omega t))$

Итоговая формула зависимости ЭДС индукции от времени для рамки с $N$ витками имеет вид:

$\mathcal{E}_i(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Здесь $\mathcal{E}_i(t)$ — мгновенное значение ЭДС индукции, $N$ — число витков в рамке, $B$ — модуль индукции магнитного поля, $S$ — площадь одного витка рамки, $\omega$ — угловая скорость вращения, $t$ — время.

Ответ: $\mathcal{E}_i(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$