Номер 1, страница 331 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. Объясните, почему при центральном столкновении с протоном нейтрон передаёт ему всю энергию, а при столкновении с ядром азота — только её часть.

1. Решение

Столкновение нейтрона с протоном или ядром азота можно рассматривать как упругое центральное столкновение. В такой системе выполняются два фундаментальных закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Рассмотрим общий случай, когда частица с массой $m_1$ и начальной скоростью $v_1$ налетает на покоящуюся частицу с массой $m_2$ ($v_2 = 0$). После центрального упругого столкновения их скорости станут $u_1$ и $u_2$ соответственно.

Из законов сохранения импульса ($m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 u_2$) и кинетической энергии ($\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$) можно вывести формулы для скоростей частиц после столкновения:

$u_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$

$u_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1$

Доля кинетической энергии $\eta$, переданной от налетающей частицы ($m_1$) к покоящейся частице ($m_2$), вычисляется как отношение кинетической энергии частицы $m_2$ после столкновения к начальной кинетической энергии частицы $m_1$:

$\eta = \frac{E_{k2, пос\text{ле}}}{E_{k1, до}} = \frac{\frac{1}{2}m_2 u_2^2}{\frac{1}{2}m_1 v_1^2} = \frac{m_2}{m_1} \left( \frac{u_2}{v_1} \right)^2$

Подставив выражение для $u_2$, получим общую формулу для доли переданной энергии:

$\eta = \frac{m_2}{m_1} \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{4 m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$

Теперь применим эту формулу к двум ситуациям, описанным в задаче.

Столкновение нейтрона с протоном

В этом случае налетающая частица — нейтрон ($m_1 = m_n$), а покоящаяся — протон ($m_2 = m_p$). Массы нейтрона и протона практически одинаковы: $m_n \approx m_p$.

Примем для простоты, что $m_n = m_p$. Тогда доля переданной энергии будет равна:

$\eta = \frac{4 m_n m_p}{(m_n + m_p)^2} \approx \frac{4 m_n \cdot m_n}{(m_n + m_n)^2} = \frac{4 m_n^2}{(2 m_n)^2} = \frac{4 m_n^2}{4 m_n^2} = 1$

Это означает, что нейтрон передает протону 100% своей кинетической энергии. Скорость нейтрона после столкновения становится равной нулю ($u_1 = \frac{m_n - m_n}{m_n + m_n}v_1 = 0$), а протон начинает двигаться с начальной скоростью нейтрона ($u_2 = \frac{2 m_n}{m_n + m_n}v_1 = v_1$).

Столкновение нейтрона с ядром азота

В этом случае налетающая частица — нейтрон ($m_1 = m_n$), а покоящаяся — ядро азота ($m_2 = m_{N}$). Наиболее распространенный изотоп азота — азот-14 ($^{14}\text{N}$), его ядро состоит из 7 протонов и 7 нейтронов. Следовательно, его масса приблизительно в 14 раз больше массы нейтрона: $m_{N} \approx 14 m_n$.

В этом случае массы сталкивающихся частиц сильно различаются. Рассчитаем долю переданной энергии:

$\eta = \frac{4 m_n m_{N}}{(m_n + m_{N})^2} \approx \frac{4 m_n (14 m_n)}{(m_n + 14 m_n)^2} = \frac{56 m_n^2}{(15 m_n)^2} = \frac{56 m_n^2}{225 m_n^2} = \frac{56}{225} \approx 0.25$

Таким образом, ядру азота передается лишь около 25% начальной энергии нейтрона. Остальные ~75% энергии нейтрон сохраняет, отскакивая от более тяжелого ядра.

Ответ: Передача кинетической энергии от налетающей частицы к покоящейся мишени при центральном упругом столкновении зависит от соотношения их масс. Энергия передается полностью (100%), когда массы частиц равны. Масса нейтрона ($m_n$) и масса протона ($m_p$) практически одинаковы ($m_n \approx m_p$), поэтому при их столкновении нейтрон останавливается и передаёт всю свою кинетическую энергию протону. Ядро азота (в основном $^{14}\text{N}$) значительно тяжелее нейтрона ($m_N \approx 14 m_n$). Из-за этой большой разницы в массах при столкновении нейтрон отскакивает от ядра, передавая ему лишь небольшую часть (около 25%) своей энергии.