Страница 229 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Докажите, что во всех инерциальных системах отсчёта второй закон Ньютона ($m\vec{a} = \vec{F}$) выглядит одинаково.

Для доказательства этого утверждения, известного как принцип относительности Галилея, рассмотрим две инерциальные системы отсчета (ИСО).

Пусть у нас есть две инерциальные системы отсчета: $K$ и $K'$. Система $K'$ движется относительно системы $K$ с постоянной скоростью $\vec{u}$.

Рассмотрим движение материальной точки массой $m$. Её положение, скорость и ускорение в системе $K$ обозначим как $\vec{r}$, $\vec{v}$ и $\vec{a}$ соответственно. В системе $K'$ эти же величины будут $\vec{r'}$, $\vec{v'}$ и $\vec{a'}$.

Согласно преобразованиям Галилея, связь между радиус-векторами точки в этих двух системах отсчета (при условии, что в начальный момент времени $t=0$ их начала координат совпадали) выражается формулой:

$\vec{r'} = \vec{r} - \vec{u}t$

Чтобы найти связь между скоростями, продифференцируем это выражение по времени:

$\vec{v'} = \frac{d\vec{r'}}{dt} = \frac{d(\vec{r} - \vec{u}t)}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt} - \vec{u} = \vec{v} - \vec{u}$

Теперь найдем связь между ускорениями, для чего еще раз продифференцируем по времени выражение для скорости:

$\vec{a'} = \frac{d\vec{v'}}{dt} = \frac{d(\vec{v} - \vec{u})}{dt} = \frac{d\vec{v}}{dt} - \frac{d\vec{u}}{dt}$

Поскольку система $K'$ движется относительно $K$ с постоянной скоростью, то $\vec{u} = \text{const}$, и производная от постоянной величины равна нулю: $\frac{d\vec{u}}{dt} = 0$. Тогда мы получаем:

$\vec{a'} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a}$

Таким образом, ускорение материальной точки одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

В классической механике масса тела ($m$) считается инвариантной величиной, то есть не зависит от выбора системы отсчета. Сила ($\vec{F}$), действующая на тело, также является инвариантной. Это следует из того, что силы взаимодействия (гравитационные, упругие, трения) зависят от взаимного расположения тел и их относительных скоростей, а эти характеристики не меняются при переходе от одной ИСО к другой.

В системе отсчета $K$ второй закон Ньютона записывается как:

$m\vec{a} = \vec{F}$

Так как масса $m$ инвариантна, $\vec{a} = \vec{a'}$ и $\vec{F} = \vec{F'}$, мы можем записать второй закон Ньютона для системы отсчета $K'$:

$m\vec{a'} = \vec{F'}$

Как мы видим, уравнение имеет абсолютно одинаковый вид в обеих системах отсчета. Это доказывает, что второй закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея и выглядит одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

Ответ: Ускорение тела ($\vec{a}$), его масса ($m$) и равнодействующая сил ($\vec{F}$), действующих на него, являются инвариантными величинами при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно. Поскольку величины, входящие в уравнение второго закона Ньютона, не меняются, то и само уравнение ($m\vec{a} = \vec{F}$) сохраняет свой вид во всех ИСО.