Номер 2, страница 199 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2*. Оцените ориентировочные значения силы тока и мощности, необходимые для создания поля с индукцией $0.1 \, \text{Тл}$ в МРТ. Для простоты представьте, что магнит выполнен в виде соленоида диаметром $1 \, \text{м}$ и длиной $1.5 \, \text{м}$. Примите сечение медного провода равным $100 \, \text{мм}^2$, а допустимую плотность тока в сечении $j = 2 \, \text{А}/\text{мм}^2$, удельное сопротивление меди равно $0.056 \, \text{Ом} \cdot \text{м}/\text{мм}^2$.

Дано:

Индукция магнитного поля: $B = 0,1$ Тл
Диаметр соленоида: $d = 1$ м
Длина соленоида: $L = 1,5$ м
Сечение медного провода: $S = 100$ мм²
Допустимая плотность тока: $j = 2$ А/мм²
Удельное сопротивление меди: $\rho = 0,056$ Ом·мм²/м
Магнитная постоянная: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Тл·м/А

Перевод в СИ:

$S = 100 \text{ мм}^2 = 100 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 10^{-4} \text{ м}^2$
$\rho = 0,056 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 0,056 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Сила тока, $\text{I}$ — ?
Мощность, $\text{P}$ — ?

Решение:

1. Сила тока $\text{I}$ в проводе определяется как произведение плотности тока $\text{j}$ на площадь поперечного сечения провода $\text{S}$. Для удобства расчетов используем значения в исходных единицах измерения:
$I = j \cdot S = 2 \frac{\text{А}}{\text{мм}^2} \cdot 100 \text{ мм}^2 = 200 \text{ А}$.

2. Для создания магнитного поля с индукцией $\text{B}$ внутри длинного соленоида необходимо определенное число витков $\text{N}$. Связь между этими величинами дается формулой $B = \mu_0 n I$, где $n = N/L$ - число витков на единицу длины.
Выразим из этой формулы общее число витков $\text{N}$:
$N = \frac{B \cdot L}{\mu_0 \cdot I}$.
Подставим известные значения:
$N = \frac{0,1 \text{ Тл} \cdot 1,5 \text{ м}}{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Тл} \cdot \text{м/А} \cdot 200 \text{ А}} = \frac{0,15}{8\pi \cdot 10^{-5}} \approx 597 \text{ витков}$.

3. Общая длина медного провода $l_{общ}$ равна произведению числа витков $\text{N}$ на длину одного витка. Длина одного витка равна длине окружности соленоида $\pi d$:
$l_{общ} = N \cdot \pi d \approx 597 \cdot \pi \cdot 1 \text{ м} \approx 1875,5 \text{ м}$.

4. Сопротивление $\text{R}$ всей обмотки найдем по формуле $R = \rho \frac{l_{общ}}{S}$.
Подставим значения в системе СИ:
$R = (0,056 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \frac{1875,5 \text{ м}}{10^{-4} \text{ м}^2} \approx 1,05 \text{ Ом}$.

5. Мощность $\text{P}$, необходимая для поддержания тока в соленоиде (мощность тепловых потерь), рассчитывается по закону Джоуля-Ленца $P = I^2 R$:
$P = (200 \text{ А})^2 \cdot 1,05 \text{ Ом} = 40000 \cdot 1,05 \text{ Вт} = 42000 \text{ Вт} = 42 \text{ кВт}$.

Ответ:

Ориентировочное значение силы тока составляет $I = 200$ А. Ориентировочное значение необходимой мощности составляет $P = 42$ кВт.