Номер 2, страница 264 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Ряд физических свойства графена даны в таблице. Используя необходимые данные, определите: массу нанотрубки диаметром 1 нм, длиной 1 мкм. Оцените силу, которую необходимо приложить, чтобы разорвать трубку.

Постоянная решетки

0,246 нм

Поверхностная плотность

0,77 мг/м²

Модуль Юнга

1 ТПа

Теплопроводность

$5,1 \cdot 10^3$ Вт/(м·К)

Оптическая проницаемость

0,977

Дано:

Диаметр нанотрубки, $d = 1$ нм

Длина нанотрубки, $L = 1$ мкм

Поверхностная плотность графена, $\rho_s = 0,77$ мг/м²

Модуль Юнга графена, $E = 1$ ТПа

Перевод в систему СИ:

$d = 1 \cdot 10^{-9}$ м

$L = 1 \cdot 10^{-6}$ м

$\rho_s = 0,77 \frac{\text{мг}}{\text{м}^2} = 0,77 \cdot 10^{-6} \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}$

$E = 1 \text{ ТПа} = 1 \cdot 10^{12} \text{ Па}$

Найти:

1. Массу нанотрубки, $\text{m}$

2. Силу разрыва нанотрубки, $F_{разр}$

Решение:

массу нанотрубки диаметром 1 нм, длиной 1 мкм

Нанотрубку можно представить как свернутый в цилиндр лист графена. Ее масса ($\text{m}$) равна произведению площади ее боковой поверхности ($\text{S}$) на поверхностную плотность графена ($\rho_s$).

1. Найдем площадь поверхности нанотрубки. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S = \pi d L$

Подставим значения в СИ:

$S = \pi \cdot (1 \cdot 10^{-9} \text{ м}) \cdot (1 \cdot 10^{-6} \text{ м}) = \pi \cdot 10^{-15} \text{ м}^2$

2. Теперь найдем массу нанотрубки ($\text{m}$):

$m = S \cdot \rho_s$

Подставим известные значения:

$m = (\pi \cdot 10^{-15} \text{ м}^2) \cdot (0,77 \cdot 10^{-6} \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}) = 0,77\pi \cdot 10^{-21} \text{ кг}$

$m \approx 2,419 \cdot 10^{-21} \text{ кг} \approx 2,42 \cdot 10^{-21} \text{ кг}$

Ответ: $m \approx 2,42 \cdot 10^{-21}$ кг.

силу, которую необходимо приложить, чтобы разорвать трубку

Поскольку в задаче требуется оценить силу, необходимо сделать ряд физических допущений. Сила, необходимая для разрыва ($F_{разр}$), определяется пределом прочности материала на разрыв ($\sigma_{пред}$) и площадью поперечного сечения ($A_{сеч}$), на которое действует сила.

$F_{разр} = \sigma_{пред} \cdot A_{сеч}$

Предел прочности связан с модулем Юнга ($\text{E}$) и предельной относительной деформацией ($\varepsilon_{пред}$) соотношением: $\sigma_{пред} = E \cdot \varepsilon_{пред}$.

1. Сделаем допущения на основе известных свойств графена:

а) Предельная относительная деформация для идеального графена ($\varepsilon_{пред}$) составляет около 13%. Примем $\varepsilon_{пред} \approx 0,13$.

б) Площадь поперечного сечения стенки нанотрубки ($A_{сеч}$) рассчитывается с использованием эффективной толщины графенового листа ($\text{h}$), равной межслоевому расстоянию в графите. Примем $h \approx 0,34$ нм $= 0,34 \cdot 10^{-9}$ м.

2. Рассчитаем площадь поперечного сечения. Ее можно найти как произведение длины окружности нанотрубки на ее эффективную толщину:

$A_{сеч} = (\pi d) \cdot h$

Подставим значения:

$A_{сеч} = \pi \cdot (1 \cdot 10^{-9} \text{ м}) \cdot (0,34 \cdot 10^{-9} \text{ м}) \approx 1,068 \cdot 10^{-18} \text{ м}^2$

3. Теперь можем оценить силу разрыва:

$F_{разр} = E \cdot \varepsilon_{пред} \cdot A_{сеч}$

$F_{разр} = (1 \cdot 10^{12} \text{ Па}) \cdot 0,13 \cdot (1,068 \cdot 10^{-18} \text{ м}^2) \approx 1,388 \cdot 10^{-7} \text{ Н}$

Округлим результат: $F_{разр} \approx 1,39 \cdot 10^{-7}$ Н. Эту величину можно также выразить в наноньютонах: $139$ нН.

Ответ: $F_{разр} \approx 1,39 \cdot 10^{-7}$ Н.