Задание 2, страница 269 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

1. Выразите в угловых секундах значение угла, равного 1 рад.

2. Докажите, что свет проходит расстояние от $\alpha$-Центавра до Солнца за 4 года.

3. Докажите верность соотношений единиц измерений:

$1 \text{ пк} = 3,26 \text{ св. г.} = 206265 \text{ а. е.} = 3 \cdot 10^{13} \text{ км.}$

1. Решение:

Один радиан (рад) – это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
Полная окружность составляет $2\pi$ радиан, что соответствует $360$ градусам ($^\circ$).
Отсюда мы можем найти, скольким градусам равен 1 радиан:
$1 \text{ рад} = \frac{360^\circ}{2\pi} = \frac{180^\circ}{\pi}$
В одном градусе ($1^\circ$) содержится 60 угловых минут ($60'$), а в одной угловой минуте ($1'$) — 60 угловых секунд ($60''$).
Следовательно, в одном градусе $60 \times 60 = 3600$ угловых секунд ($3600''$).
Теперь переведем 1 радиан в угловые секунды:
$1 \text{ рад} = \frac{180}{\pi} \times 3600'' = \frac{648000}{\pi}''$
Используя значение $\pi \approx 3,14159265$, получаем:
$1 \text{ рад} \approx \frac{648000}{3,14159265} \approx 206264,8''$
Округляя до целого числа, получаем 206 265 угловых секунд.

Ответ: 1 радиан $\approx 206265''$.

2. Чтобы доказать, что свет проходит расстояние от $\alpha$-Центавра до Солнца примерно за 4 года, нам нужно определить это расстояние в световых годах. Расстояние в световых годах численно равно времени в годах, которое требуется свету для его преодоления.
Расстояние до звезд удобнее всего измерять через их годичный параллакс.

Дано:

Годичный параллакс ближайшей к Солнцу звезды в системе $\alpha$-Центавра (Проксимы Центавра) $p \approx 0,77''$.
Соотношение из пункта 3: $1 \text{ пк} \approx 3,26$ св. г.

Найти:

Время $\text{t}$, за которое свет доходит от $\alpha$-Центавра до Солнца.

Решение:

Расстояние до звезды в парсеках ($d_{\text{пк}}$) определяется как величина, обратная ее годичному параллаксу, выраженному в угловых секундах ($p''$):
$d_{\text{пк}} = \frac{1}{p''}$
Подставим значение параллакса для Проксимы Центавра:
$d_{\text{пк}} = \frac{1}{0,77} \approx 1,299$ пк.
Теперь переведем это расстояние в световые годы (св. г.), используя соотношение, которое будет доказано в следующем пункте:
$d_{\text{св. г.}} = d_{\text{пк}} \times 3,26 \approx 1,299 \times 3,26 \approx 4,23$ св. г.
Расстояние до системы $\alpha$-Центавра составляет примерно 4,23 световых года. По определению, световой год — это расстояние, которое свет проходит за один год. Следовательно, свету потребуется 4,23 года, чтобы преодолеть это расстояние.
Округляя, получаем примерно 4 года.

Ответ: Расстояние до $\alpha$-Центавра составляет примерно 4,23 световых года, поэтому свету требуется около 4 лет, чтобы достичь Солнца, что и требовалось доказать.

3. Для доказательства верности соотношений нам понадобятся определения астрономических единиц и некоторые константы.

Дано:

1 астрономическая единица (а. е.) — среднее расстояние от Земли до Солнца.
1 парсек (пк) — расстояние, с которого средний радиус земной орбиты (равный 1 а. е.) виден под углом в 1 угловую секунду ($1''$).
1 световой год (св. г.) — расстояние, которое свет проходит в вакууме за один год.
Среднее расстояние от Земли до Солнца: $1 \text{ а. е.} \approx 1,496 \cdot 10^{11}$ м.
Скорость света в вакууме: $c \approx 2,998 \cdot 10^8$ м/с.
Продолжительность юлианского года: $T = 365,25$ суток.

Перевод в СИ:
$T = 365,25 \text{ суток} \times 24 \frac{\text{ч}}{\text{сут}} \times 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} = 3,15576 \cdot 10^7$ с.

Решение:

Доказательство проведем в три этапа.

Этап 1: Докажем, что $1 \text{ пк} \approx 206265 \text{ а. е.}$
По определению парсека, мы имеем прямоугольный треугольник, в котором катет, противолежащий углу $p=1''$, равен 1 а. е., а прилежащий катет равен 1 пк. Для малого угла $\text{p}$ в радианах справедливо соотношение $ \tan(p) \approx p = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} $.
$p = \frac{1 \text{ а. е.}}{1 \text{ пк}}$
Отсюда $1 \text{ пк} = \frac{1 \text{ а. е.}}{p}$.
Угол $\text{p}$ равен $1''$. Переведем его в радианы. Как мы нашли в пункте 1, $1 \text{ рад} \approx 206265''$.
Следовательно, $1'' = \frac{1}{206265}$ рад.
Подставляем это значение в формулу для парсека:
$1 \text{ пк} = \frac{1 \text{ а. е.}}{1/206265} = 206265 \text{ а. е.}$
Первое соотношение доказано.

Этап 2: Докажем, что $1 \text{ пк} \approx 3,26 \text{ св. г.}$
Для этого выразим 1 пк и 1 св. г. в одних и тех же единицах, например, в километрах.
Сначала рассчитаем 1 световой год в километрах:
$1 \text{ св. г.} = c \cdot T \approx (2,998 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (3,15576 \cdot 10^7 \text{ с}) \approx 9,461 \cdot 10^{15} \text{ м} = 9,461 \cdot 10^{12}$ км.
Теперь рассчитаем 1 парсек в километрах, используя результат Этапа 1:
$1 \text{ пк} = 206265 \text{ а. е.} \approx 206265 \cdot (1,496 \cdot 10^{11} \text{ м}) \approx 3,0857 \cdot 10^{16} \text{ м} = 3,0857 \cdot 10^{13}$ км.
Теперь найдем отношение парсека к световому году:
$\frac{1 \text{ пк}}{1 \text{ св. г.}} = \frac{3,0857 \cdot 10^{13} \text{ км}}{9,461 \cdot 10^{12} \text{ км}} \approx 3,261$
Таким образом, $1 \text{ пк} \approx 3,26$ св. г. Второе соотношение доказано.

Этап 3: Докажем, что $1 \text{ пк} \approx 3 \cdot 10^{13} \text{ км}$
На Этапе 2 мы уже вычислили более точное значение:
$1 \text{ пк} \approx 3,0857 \cdot 10^{13}$ км.
В задании приведено округленное значение. Округление до одного знака после запятой дает $3,1 \cdot 10^{13}$ км, а округление до целого числа перед степенью десяти дает $3 \cdot 10^{13}$ км. Это грубое, но часто используемое в оценках значение.

Ответ: Мы последовательно доказали, что $1 \text{ пк} \approx 206265 \text{ а. е.}$, $1 \text{ пк} \approx 3,26 \text{ св. г.}$ и что значение $1 \text{ пк}$ примерно равно $3 \cdot 10^{13}$ км, что соответствует приведенным в задаче соотношениям.