Задание 3, страница 270 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

1. Докажите, что абсолютная звездная величина Солнца равна 5. Примите видимую звездную величину равной $m = -26,6$.

2. Определите светимость $\text{S}$ Золотой Рыбы в ваттах.

1. Докажите, что абсолютная звездная величина Солнца равна 5. Примите видимую звездную величину равной m = –26,6.

Дано:

Видимая звездная величина Солнца, $m = -26,6$.
Расстояние от Земли до Солнца, $r = 1 \text{ а.е.}$ (астрономическая единица).

Найти:

Абсолютную звездную величину Солнца, $\text{M}$.

Решение:

Абсолютная звездная величина ($\text{M}$) — это видимая звездная величина, которую имел бы объект, если бы находился на стандартном расстоянии в 10 парсек от наблюдателя.
Связь между абсолютной ($\text{M}$) и видимой ($\text{m}$) звездными величинами определяется формулой модуля расстояния:
$M = m + 5 - 5 \cdot \lg(r)$
где $\text{r}$ — расстояние до звезды в парсеках (пк).

Сначала необходимо перевести расстояние до Солнца из астрономических единиц в парсеки. Мы знаем, что 1 парсек — это расстояние, с которого средний радиус земной орбиты (1 а.е.) виден под углом в 1 угловую секунду.
Соотношение между парсеком и астрономической единицей:
$1 \text{ пк} \approx 206265 \text{ а.е.}$
Следовательно, расстояние до Солнца в парсеках равно:
$r = 1 \text{ а.е.} = \frac{1}{206265} \text{ пк}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для абсолютной звездной величины:
$M = -26,6 + 5 - 5 \cdot \lg\left(\frac{1}{206265}\right)$
Используя свойство логарифма $\lg(1/x) = -\lg(x)$, получаем:
$M = -21,6 - 5 \cdot (-\lg(206265))$
$M = -21,6 + 5 \cdot \lg(206265)$
Вычислим логарифм:
$\lg(206265) \approx 5,3144$
Подставим это значение обратно в формулу:
$M \approx -21,6 + 5 \cdot 5,3144$
$M \approx -21,6 + 26,572$
$M \approx 4,972$

Полученное значение очень близко к 5. Небольшое расхождение связано с округлением используемых констант (видимой звездной величины Солнца, числа а.е. в парсеке). Таким образом, можно считать доказанным, что абсолютная звездная величина Солнца примерно равна 5.

Ответ: Расчет показывает, что абсолютная звездная величина Солнца $M \approx 4,972$, что приблизительно равно 5.

2. Определите светимость S Золотой Рыбы в ваттах.

Дано:

Абсолютная звездная величина Солнца, $M_{Солнца} \approx 5$ (из предыдущей задачи).
Светимость Солнца, $L_{Солнца} \approx 3,83 \cdot 10^{26} \text{ Вт}$ (справочное значение).
Абсолютная звездная величина S Золотой Рыбы, $M_{S Dor} \approx -10$ (справочное значение, так как S Золотой Рыбы — одна из самых ярких известных звезд, ее абсолютная величина является известной характеристикой).

Найти:

Светимость S Золотой Рыбы, $L_{S Dor}$.

Решение:

Светимость звезды связана с ее абсолютной звездной величиной. Соотношение светимостей двух звезд ($L_1$ и $L_2$) и их абсолютных звездных величин ($M_1$ и $M_2$) выражается формулой Погсона:
$M_1 - M_2 = -2,5 \cdot \lg\left(\frac{L_1}{L_2}\right)$

Применим эту формулу для S Золотой Рыбы и Солнца:
$M_{Солнца} - M_{S Dor} = -2,5 \cdot \lg\left(\frac{L_{Солнца}}{L_{S Dor}}\right)$
Выразим отсюда отношение светимостей. Удобнее записать формулу так:
$\frac{L_{S Dor}}{L_{Солнца}} = 10^{\frac{M_{Солнца} - M_{S Dor}}{2,5}}$

Подставим известные значения в формулу:
$\frac{L_{S Dor}}{L_{Солнца}} = 10^{\frac{5 - (-10)}{2,5}}$
$\frac{L_{S Dor}}{L_{Солнца}} = 10^{\frac{15}{2,5}}$
$\frac{L_{S Dor}}{L_{Солнца}} = 10^6$

Это означает, что светимость S Золотой Рыбы в миллион раз больше светимости Солнца.
Теперь найдем светимость S Золотой Рыбы в ваттах:
$L_{S Dor} = L_{Солнца} \cdot 10^6$
$L_{S Dor} = (3,83 \cdot 10^{26} \text{ Вт}) \cdot 10^6$
$L_{S Dor} = 3,83 \cdot 10^{32} \text{ Вт}$

Ответ: Светимость S Золотой Рыбы составляет примерно $3,83 \cdot 10^{32}$ Вт.