Ответьте на вопросы, страница 295 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Ответьте на вопросы

1. Кривизна какого шара больше: с большим радиусом или с меньшим?

2. Можно ли в бесконечно малом участке шара бесконечного радиуса применять геометрию Евклида и использовать декартовую систему координат? Поясните свой ответ.

1. Кривизна какого шара больше: с большим радиусом или с меньшим?

Кривизна — это мера того, насколько геометрический объект, в данном случае поверхность шара, отклоняется от плоскости. Интуитивно понятно, что чем меньше шар, тем он "более круглый" или "более изогнутый". Например, поверхность футбольного мяча заметно изогнута, в то время как поверхность Земли, имеющей огромный радиус, кажется нам плоской на небольших участках.

С математической точки зрения, гауссова кривизна $\text{K}$ поверхности сферы радиусом $\text{R}$ определяется по формуле:

$K = \frac{1}{R^2}$

Из этой формулы видно, что кривизна обратно пропорциональна квадрату радиуса. Следовательно, при уменьшении радиуса $\text{R}$ его квадрат $R^2$ также уменьшается, что приводит к увеличению значения дроби $\text{K}$ (кривизны). И наоборот, при увеличении радиуса $\text{R}$ его квадрат $R^2$ увеличивается, а кривизна $\text{K}$ уменьшается.

Таким образом, шар с меньшим радиусом имеет большую кривизну.

Ответ: Кривизна больше у шара с меньшим радиусом.

2. Можно ли в бесконечно малом участке шара бесконечного радиуса применять геометрию Евклида и использовать декартовую систему координат? Поясните свой ответ.

Да, можно. Это следует из самого определения шара бесконечного радиуса.

Рассмотрим, что представляет собой такой объект. Как было показано в предыдущем пункте, кривизна шара $\text{K}$ связана с его радиусом $\text{R}$ соотношением $K = 1/R^2$. Если радиус шара устремить к бесконечности ($R \to \infty$), то его кривизна будет стремиться к нулю:

$K = \lim_{R \to \infty} \frac{1}{R^2} = 0$

Поверхность, имеющая нулевую кривизну во всех точках, по определению является плоскостью. Геометрия Евклида — это как раз геометрия на плоскости. Декартова система координат является стандартным инструментом для описания точек и фигур в евклидовом пространстве, и в частности, на плоскости. Таким образом, "шар бесконечного радиуса" — это и есть евклидова плоскость.

Поскольку вся поверхность такого "шара" является плоскостью, то на любом её участке, не только бесконечно малом, но и на участке любого конечного размера, применима геометрия Евклида и можно использовать декартову систему координат. Упоминание "бесконечно малого участка" здесь избыточно, так как свойство плоскости присуще всей поверхности целиком.

Ответ: Да, можно, поскольку шар бесконечного радиуса по определению является плоскостью, а геометрия Евклида и декартова система координат как раз и описывают свойства плоскости.