Задание, страница 294 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание

Выразите постоянную Хаббла, равную $70 \text{ км/с} \cdot \text{Мпк}$ в единицах СИ. Сравните со значением (4).

Дано:

Постоянная Хаббла $H = 70 \frac{км/с}{Мпк}$

Перевод в СИ:

$1 \text{ км} = 10^3 \text{ м}$

$1 \text{ Мпк (мегапарсек)} = 10^6 \text{ пк (парсек)}$

$1 \text{ пк} \approx 3.086 \times 10^{16} \text{ м}$

$1 \text{ Мпк} \approx 10^6 \times 3.086 \times 10^{16} \text{ м} = 3.086 \times 10^{22} \text{ м}$

Найти:

Выразить постоянную Хаббла $\text{H}$ в единицах СИ и сравнить со "значением (4)".

Решение:

Постоянная Хаббла $\text{H}$ в законе Хаббла ($v = H \cdot D$) связывает скорость разбегания галактик ($\text{v}$) и расстояние до них ($\text{D}$). Ее физический смысл — темп расширения Вселенной. Размерность постоянной Хаббла — [Скорость]/[Расстояние] = (L/T)/L = 1/T, то есть обратное время. В системе СИ основной единицей времени является секунда (с), следовательно, постоянная Хаббла в СИ измеряется в $с^{-1}$.

Для перевода заданного значения в единицы СИ, необходимо выразить все величины в основных единицах СИ: километры в секунду (км/с) в метры в секунду (м/с) и мегапарсеки (Мпк) в метры (м).

Исходное значение:

$H = 70 \frac{км/с}{Мпк}$

Подставим значения в единицах СИ:

$H = 70 \cdot \frac{1 \text{ км/с}}{1 \text{ Мпк}} = 70 \cdot \frac{10^3 \text{ м/с}}{3.086 \times 10^{22} \text{ м}}$

Сократим единицы измерения (метры) и выполним вычисления:

$H = \frac{70 \times 10^3}{3.086 \times 10^{22}} \frac{м/с}{м} = \frac{7 \times 10^4}{3.086 \times 10^{22}} с^{-1}$

$H \approx 2.268 \times 10^{-18} с^{-1}$

Вторая часть задания просит "Сравните со значением (4)". В самом задании это значение не приводится. Можно предположить, что имеется в виду величина, обратная постоянной Хаббла — так называемое время Хаббла $T_H$, которое дает примерную оценку возраста Вселенной. Вычислим его.

$T_H = \frac{1}{H}$

$T_H = \frac{1}{2.268 \times 10^{-18} с^{-1}} \approx 4.409 \times 10^{17} с$

Для более наглядного представления переведем это время в миллиарды лет. В одном году примерно $3.156 \times 10^7$ секунд.

$T_H = \frac{4.409 \times 10^{17} с}{3.156 \times 10^7 с/год} \approx 1.397 \times 10^{10} \text{ лет} \approx 14$ млрд лет.

Современные космологические модели дают возраст Вселенной около 13.8 миллиардов лет. Полученное нами значение хорошо согласуется с этой оценкой. Таким образом, если "значение (4)" — это возраст Вселенной, то вычисленное время Хаббла очень близко к нему.

Ответ: Постоянная Хаббла, выраженная в единицах СИ, составляет $H \approx 2.268 \times 10^{-18} с^{-1}$. Сравнение со "значением (4)" провести невозможно из-за отсутствия данного значения. Однако, если предположить, что речь идет о времени Хаббла как оценке возраста Вселенной, то оно составляет $T_H \approx 14$ миллиардов лет, что близко к современным научным данным.