Ответьте на вопросы, страница 216 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Ответьте на вопросы

1. Кривизна какого шара больше: с большим радиусом или с меньшим?

2. Можно ли в бесконечно малом участке шара бесконечного радиуса применять геометрию Евклида и использовать декартовую систему координат? Поясните свой ответ.

1. Кривизна какого шара больше: с большим радиусом или с меньшим?

Кривизна поверхности обратно пропорциональна ее радиусу. Для шара (сферы) гауссова кривизна $\text{K}$ в любой точке поверхности связана с радиусом $\text{R}$ соотношением $K = 1/R^2$. Из этой формулы следует, что чем меньше радиус шара, тем больше его кривизна. Интуитивно это можно представить, сравнивая маленький шарик (например, для пинг-понга) и большой шар (например, планету Земля). Поверхность маленького шарика очевидно более "изогнута", чем поверхность Земли на сопоставимом участке.

Ответ: кривизна больше у шара с меньшим радиусом.

2. Можно ли в бесконечно малом участке шара бесконечного радиуса применять геометрию Евклида и использовать декартовую систему координат? Поясните свой ответ.

Да, можно. Пояснение заключается в следующем: шар бесконечного радиуса по своей сути является плоскостью. Кривизна шара $\text{K}$ определяется как $K = 1/R^2$. Когда радиус $\text{R}$ стремится к бесконечности ($R \to \infty$), кривизна $\text{K}$ стремится к нулю ($K \to 0$). Поверхность с нулевой кривизной является плоской (евклидовой) поверхностью.

Геометрия Евклида — это как раз геометрия плоского пространства. Декартова система координат является стандартным способом введения координат на плоскости. Таким образом, для шара бесконечного радиуса евклидова геометрия и декартовы координаты применимы абсолютно точно на всей его поверхности, а не только на бесконечно малом участке. Упоминание "бесконечно малого участка" лишь подчеркивает тот факт, что любая гладкая поверхность локально (в малой окрестности) похожа на плоскость, но в данном случае вся поверхность является плоскостью.

Ответ: да, можно, так как шар бесконечного радиуса является плоскостью, а геометрия Евклида и декартова система координат как раз и предназначены для описания свойств плоскости.