Задание, страница 214 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание

Выясните, чем отличается евклидово пространство от пространства, обладающего геометрией Лобачевского.

Решение

Основное и фундаментальное различие между евклидовым пространством и пространством, обладающим геометрией Лобачевского, заключается в их отношении к пятому постулату Евклида, также известному как аксиома о параллельных прямых.

В евклидовой геометрии, которая описывает "плоское" пространство с нулевой кривизной, постулат о параллельных формулируется так:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

В геометрии Лобачевского, которая описывает пространство с постоянной отрицательной кривизной (гиперболическое пространство), этот постулат заменяется на противоположный:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит по меньшей мере две (а следовательно, бесконечно много) прямых, не пересекающих данную.

Это различие в основной аксиоме приводит к целому ряду следствий, которые кардинально отличают эти две геометрии:

1. Сумма углов в треугольнике. В евклидовом пространстве сумма углов любого треугольника строго равна $180^\circ$. В пространстве Лобачевского сумма углов любого треугольника всегда меньше $180^\circ$. Чем больше площадь треугольника, тем меньше сумма его углов.

2. Кривизна пространства. Евклидово пространство является плоским (кривизна равна нулю). Его двумерной моделью является обычная плоскость. Пространство Лобачевского имеет постоянную отрицательную кривизну. Его двумерную модель можно представить в виде седлообразной поверхности (например, гиперболического параболоида) или псевдосферы.

3. Длина окружности. В евклидовой геометрии длина окружности радиуса $\text{r}$ равна $C = 2\pi r$. В геометрии Лобачевского длина окружности того же радиуса $\text{r}$ будет больше: $C > 2\pi r$.

4. Подобие фигур. В евклидовой геометрии существуют подобные, но не конгруэнтные (не равные) фигуры. Например, можно построить два треугольника с одинаковыми углами, но разными по длине сторонами. В геометрии Лобачевского, если два треугольника подобны (имеют равные углы), то они обязательно и конгруэнтны (равны). Это означает, что в геометрии Лобачевского размер фигуры определяется её углами, и в ней существует абсолютная единица длины.

Таким образом, евклидово пространство – это наш интуитивно понятный мир прямых линий и "обычных" фигур, в то время как пространство Лобачевского обладает контринтуитивными, но внутренне непротиворечивыми свойствами, вытекающими из одного единственного измененного допущения.

Ответ: Евклидово пространство отличается от пространства с геометрией Лобачевского в первую очередь аксиомой о параллельных прямых: в евклидовом пространстве через точку вне прямой можно провести лишь одну параллельную прямую, а в пространстве Лобачевского — бесконечное множество. Это приводит к фундаментальным различиям в свойствах геометрических фигур: например, сумма углов треугольника в евклидовом пространстве всегда равна $180^\circ$, а в пространстве Лобачевского — всегда меньше $180^\circ$.