Страница 120 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Тема. Сфера и шар. Уравнение сферы. Комбинации шара с многогранниками, цилиндром и конусом

1. Диаметр шара равен 30 см. Найдите расстояние от центра шара до его сечения, площадь которого равна $81\pi$ см$^2$.

2. Составьте уравнение сферы с центром в точке $B (4; -2; 9)$, проходящей через точку $D (5; 2; 12)$.

3. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $120^\circ$. Около конуса описан шар, радиус которого равен $4\sqrt{3}$ см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

4. Определите, является ли уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 8y - 24z + 149 = 0$ уравнением сферы. В случае утвердительного ответа укажите координаты центра сферы и её радиус.

5. Основанием пирамиды является ромб с острым углом $\alpha$, а его меньшая диагональ равна $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.

Контрольная работа № 3

Тема. Сфера и шар. Уравнение сферы.

Комбинации шара с многогранниками, цилиндром и конусом

1. Диаметр шара равен 30 см. Найдите расстояние от центра шара до его сечения, площадь которого равна $81\pi$ см$^{2}$.

2. Составьте уравнение сферы с центром в точке $B (4; -2; 9)$, проходящей через точку $D (5; 2; 12)$.

3. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $120^\circ$. Около конуса описан шар, радиус которого равен $4\sqrt{3}$ см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

4. Определите, является ли уравнение $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 10x + 8y - 24z + 149 = 0$ уравнением сферы. В случае утвердительного ответа укажите координаты центра сферы и её радиус.

5. Основанием пирамиды является ромб с острым углом $\alpha$, а его меньшая диагональ равна $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.

1.

Пусть $R$ – радиус шара, $D$ – его диаметр. По условию $D = 30$ см, следовательно, радиус шара $R = D/2 = 15$ см.
Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Пусть $r$ – радиус этого круга. Площадь сечения $S_{сеч}$ дается формулой $S_{сеч} = \pi r^2$.
По условию $S_{сеч} = 81\pi$ см², отсюда находим радиус сечения:
$\pi r^2 = 81\pi$
$r^2 = 81$
$r = 9$ см.
Расстояние от центра шара до плоскости сечения ($h$), радиус шара ($R$) и радиус сечения ($r$) связаны соотношением по теореме Пифагора:
$R^2 = h^2 + r^2$
Отсюда находим искомое расстояние $h$:
$h^2 = R^2 - r^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

2.

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$
Центр сферы находится в точке $B(4; -2; 9)$, поэтому уравнение принимает вид:
$(x - 4)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 9)^2 = R^2$
$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 + (z - 9)^2 = R^2$
Так как сфера проходит через точку $D(5; 2; 12)$, то радиус $R$ равен расстоянию между центром $B$ и точкой $D$. Вычислим квадрат радиуса $R^2$:
$R^2 = BD^2 = (5 - 4)^2 + (2 - (-2))^2 + (12 - 9)^2 = 1^2 + 4^2 + 3^2 = 1 + 16 + 9 = 26$.
Подставив значение $R^2$ в уравнение, получаем итоговое уравнение сферы:
$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 + (z - 9)^2 = 26$.

Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 2)^2 + (z - 9)^2 = 26$.

3.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность описанного шара. Пусть $l$ – образующая конуса, $r$ – радиус его основания, $R_{шара}$ – радиус описанного шара.
Угол при вершине осевого сечения равен $120°$, а углы при основании равны $(180° - 120°)/2 = 30°$.
По теореме синусов для треугольника осевого сечения:
$\frac{2r}{\sin(120°)} = \frac{l}{\sin(30°)} = 2R_{шара}$
Из этого соотношения найдем $r$ и $l$. Радиус шара $R_{шара} = 4\sqrt{3}$ см.
Найдем образующую $l$:
$l = 2R_{шара} \cdot \sin(30°) = 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
Найдем радиус основания конуса $r$:
$2r = 2R_{шара} \cdot \sin(120°)$
$r = R_{шара} \cdot \sin(120°) = 4\sqrt{3} \cdot \sin(60°) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.
$S_{бок} = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $24\pi\sqrt{3}$ см².

4.

Чтобы определить, является ли данное уравнение уравнением сферы, приведем его к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, используя метод выделения полного квадрата.
Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 8y - 24z + 149 = 0$.
Группируем слагаемые:
$(x^2 - 10x) + (y^2 + 8y) + (z^2 - 24z) + 149 = 0$
Выделяем полные квадраты:
$(x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + 5^2 - 5^2) + (y^2 + 2 \cdot 4 \cdot y + 4^2 - 4^2) + (z^2 - 2 \cdot 12 \cdot z + 12^2 - 12^2) + 149 = 0$
$((x - 5)^2 - 25) + ((y + 4)^2 - 16) + ((z - 12)^2 - 144) + 149 = 0$
Переносим константы в правую часть:
$(x - 5)^2 + (y + 4)^2 + (z - 12)^2 = 25 + 16 + 144 - 149$
$(x - 5)^2 + (y + 4)^2 + (z - 12)^2 = 36$
Мы получили уравнение вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $R^2 = 36 > 0$. Следовательно, это уравнение является уравнением сферы.
Координаты центра сферы $(x_0; y_0; z_0)$ равны $(5; -4; 12)$.
Радиус сферы $R = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: Да, является. Координаты центра $(5; -4; 12)$, радиус 6.

5.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$, ее вершина проецируется в центр окружности, вписанной в основание.
Основание – ромб с острым углом $\alpha$ и меньшей диагональю $d$. Меньшая диагональ лежит против острого угла. Пусть сторона ромба равна $a$. По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами и меньшей диагональю:
$d^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos\alpha = 2a^2(1 - \cos\alpha) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$
Отсюда $d = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.
Высота ромба $h_{ромба} = a \sin\alpha = a \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) = (2a\sin(\frac{\alpha}{2}))\cos(\frac{\alpha}{2}) = d\cos(\frac{\alpha}{2})$.
Радиус окружности, вписанной в ромб, $r_{осн} = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{d\cos(\frac{\alpha}{2})}{2}$.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ее высоту и апофему боковой грани. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$, а гипотенузой – апофема. Угол между апофемой и основанием равен $\beta$.
Центр вписанного в пирамиду шара лежит на ее высоте. В рассмотренном сечении центр шара будет являться центром окружности, вписанной в угол $\beta$, и будет лежать на биссектрисе этого угла.
Пусть $r_{вп}$ – радиус вписанного шара. В прямоугольном треугольнике, образованном $r_{осн}$, $r_{вп}$ (как катетами) и биссектрисой угла $\beta$, угол при основании равен $\beta/2$.
Отсюда имеем соотношение:
$\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{r_{вп}}{r_{осн}}$
$r_{вп} = r_{осн} \cdot \tan(\frac{\beta}{2})$
Подставляем найденное значение $r_{осн}$:
$r_{вп} = \frac{d\cos(\frac{\alpha}{2})}{2} \tan(\frac{\beta}{2})$.

Ответ: $\frac{d}{2} \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\frac{\beta}{2})$.