Страница 114 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Тема. Сфера и шар. Уравнение сферы. Комбинации шара с многогранниками, цилиндром и конусом

1. Площадь сечения шара равна $49\pi$ см$^2$. Это сечение удалено от центра шара на 24 см. Найдите радиус шара.

2. Составьте уравнение сферы с центром в точке A $(2; -5; 1)$, проходящей через точку C $(6; -7; 3)$.

3. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $60^\circ$. Около конуса описан шар, радиус которого равен 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

4. Определите, является ли уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 22x - 4y - 6z + 109 = 0$ уравнением сферы. В случае утвердительного ответа укажите координаты центра сферы и её радиус.

5. Основанием пирамиды является ромб с острым углом $\alpha$, а его большая диагональ равна $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.

Контрольная работа № 3

Тема. Сфера и шар. Уравнение сферы.

Комбинации шара с многогранниками, цилиндром и конусом

1. Площадь сечения шара равна $49\pi$ см$^2$. Это сечение удалено от центра шара на 24 см. Найдите радиус шара.

2. Составьте уравнение сферы с центром в точке A (2; -5; 1), проходящей через точку C (6; -7; 3).

3. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $60^\circ$. Около конуса описан шар, радиус которого равен 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

4. Определите, является ли уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 22x - 4y - 6z + 109 = 0$ уравнением сферы. В случае утвердительного ответа укажите координаты центра сферы и её радиус.

5. Основанием пирамиды является ромб с острым углом $\alpha$, а его большая диагональ равна $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.

1.

Сечение шара плоскостью является кругом. Площадь этого круга $S_{сеч}$ вычисляется по формуле $S_{сеч} = \pi r^2$, где $r$ - радиус сечения.

По условию, площадь сечения равна $49\pi$ см², следовательно:

$\pi r^2 = 49\pi$

$r^2 = 49$

$r = 7$ см.

Радиус шара $R$, расстояние от центра шара до секущей плоскости $d$ и радиус сечения $r$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $R$ является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r^2$

По условию, расстояние от центра до сечения $d = 24$ см. Подставим известные значения:

$R^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$

$R = \sqrt{625} = 25$ см.

Ответ: 25 см.

2.

Каноническое уравнение сферы имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ - координаты центра, а $R$ - радиус.

Центр сферы находится в точке $A(2; –5; 1)$, поэтому $x_0 = 2$, $y_0 = -5$, $z_0 = 1$. Уравнение принимает вид:

$(x - 2)^2 + (y - (-5))^2 + (z - 1)^2 = R^2$

$(x - 2)^2 + (y + 5)^2 + (z - 1)^2 = R^2$

Так как сфера проходит через точку $C(6; –7; 3)$, её радиус $R$ равен расстоянию между центром $A$ и точкой $C$. Найдем квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = (6 - 2)^2 + (-7 - (-5))^2 + (3 - 1)^2$

$R^2 = 4^2 + (-2)^2 + 2^2$

$R^2 = 16 + 4 + 4 = 24$

Подставим найденное значение $R^2$ в уравнение сферы:

$(x - 2)^2 + (y + 5)^2 + (z - 1)^2 = 24$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 + (z - 1)^2 = 24$.

3.

Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником. Угол при вершине этого треугольника равен 60°. Следовательно, углы при основании равны $(180° - 60°)/2 = 60°$ каждый. Таким образом, осевое сечение - это равносторонний треугольник.

Пусть $l$ - образующая конуса, а $r$ - радиус его основания. Для равностороннего треугольника, являющегося осевым сечением, его сторона (образующая $l$) равна диаметру основания конуса ($2r$), то есть $l = 2r$.

Так как шар описан около конуса, то осевое сечение конуса вписано в большой круг шара. Радиус этого шара $R$ является радиусом окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $l$. Связь между ними выражается формулой:

$R = \frac{l}{\sqrt{3}}$

По условию, радиус шара $R = 12$ см. Найдем образующую $l$:

$12 = \frac{l}{\sqrt{3}} \implies l = 12\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус основания конуса $r$:

$r = \frac{l}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

$S_{бок} = \pi \cdot (6\sqrt{3}) \cdot (12\sqrt{3}) = \pi \cdot 72 \cdot (\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 72 \cdot 3 = 216\pi$ см².

Ответ: $216\pi$ см².

4.

Для определения, является ли данное уравнение уравнением сферы, приведем его к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$ методом выделения полных квадратов.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 + 22x - 4y - 6z + 109 = 0$.

Сгруппируем слагаемые по переменным:

$(x^2 + 22x) + (y^2 - 4y) + (z^2 - 6z) + 109 = 0$

Дополним каждую группу до полного квадрата, добавляя и вычитая квадрат половины коэффициента при первой степени переменной:

$(x^2 + 22x + 11^2) - 11^2 + (y^2 - 4y + 2^2) - 2^2 + (z^2 - 6z + 3^2) - 3^2 + 109 = 0$

$(x + 11)^2 - 121 + (y - 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 + 109 = 0$

Перенесем числовые слагаемые в правую часть уравнения:

$(x + 11)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 121 + 4 + 9 - 109$

$(x + 11)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 25$

Полученное уравнение соответствует каноническому виду уравнения сферы, так как выражение в правой части $R^2=25$ является положительным числом.

Из уравнения находим координаты центра сферы $(x_0; y_0; z_0)$ и ее радиус $R$.

Центр сферы: $O(-11; 2; 3)$.

Радиус: $R = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: Да, является. Центр: $(-11; 2; 3)$, радиус: 5.

5.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание. Для ромба таким центром является точка пересечения его диагоналей.

Радиус вписанного в пирамиду шара $r_{ш}$ можно найти из сечения, проходящего через высоту пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$. В этом сечении $r_{ш}$ связан с $r_{осн}$ и двугранным углом $\beta$ соотношением:

$r_{ш} = r_{осн} \cdot \tan(\frac{\beta}{2})$

Сначала найдем радиус окружности, вписанной в ромб ($r_{осн}$).

Основание - ромб с острым углом $\alpha$ и большей диагональю $d$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба $a$. Катет этого треугольника, прилежащий к углу $\alpha/2$, равен половине большей диагонали, то есть $d/2$.

Высота ромба $h$ связана с его стороной $a$ и углом $\alpha$: $h = a \sin(\alpha)$. Радиус вписанной окружности равен половине высоты: $r_{осн} = h/2 = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$.

Из прямоугольного треугольника найдем сторону $a$: $\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{a}$, откуда $a = \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Подставим $a$ в формулу для $r_{осн}$:

$r_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \sin(\alpha)$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$r_{осн} = \frac{d \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{4\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{d}{2}\sin(\frac{\alpha}{2})$

Теперь подставим найденное значение $r_{осн}$ в формулу для радиуса вписанного шара:

$r_{ш} = \frac{d}{2}\sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(\frac{\beta}{2})$

Ответ: $\frac{d}{2}\sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(\frac{\beta}{2})$.