Страница 111 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

327. Апофема правильной треугольной пирамиды равна $m$, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём шара, вписанного в данную пирамиду.

327. Апофема правильной треугольной пирамиды равна $m$, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём шара, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. Обозначим её вершину как $S$, а основание – $ABC$. Поскольку пирамида правильная, её основание $ABC$ является равносторонним треугольником. Пусть $O$ – центр основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот). Тогда $SO$ – высота пирамиды $H$.

Апофема правильной пирамиды – это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды. Проведём апофему $SM$ к ребру основания $BC$, где $M$ – середина $BC$. По условию, длина апофемы $SM = m$.

Двугранный угол при ребре основания – это угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. Линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle SMO$, так как $SM \perp BC$ (как апофема) и $OM \perp BC$ (поскольку $OM$ является проекцией наклонной $SM$ на плоскость основания, а также радиусом вписанной в основание окружности). По условию, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему $SM$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$ ($\angle SOM = 90^\circ$).

Центр вписанного в пирамиду шара (обозначим его $I$) лежит на высоте пирамиды $SO$ и равноудалён от всех её граней. Радиус вписанного шара $r$ равен расстоянию от точки $I$ до любой грани. Расстояние от $I$ до плоскости основания $ABC$ равно длине отрезка $IO$, то есть $r = IO$.

Поскольку центр $I$ равноудалён от плоскости основания $ABC$ и плоскости боковой грани $SBC$, он лежит на биссектрисе двугранного угла между ними. Следовательно, в треугольнике $SOM$ луч $MI$ является биссектрисой угла $\angle SMO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$. В нём $\angle IOM = 90^\circ$, а угол $\angle IMO = \frac{\alpha}{2}$.

Чтобы найти радиус $r = IO$, сначала найдём длину катета $OM$ из прямоугольного треугольника $SOM$:

$OM = SM \cdot \cos(\angle SMO) = m \cdot \cos(\alpha)$

Теперь из прямоугольного треугольника $IOM$ выразим катет $IO$ (радиус $r$):

$\tan(\angle IMO) = \frac{IO}{OM}$

$r = IO = OM \cdot \tan(\angle IMO) = m \cos(\alpha) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Подставим найденное выражение для радиуса:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(m \cos(\alpha) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^3 = \frac{4}{3}\pi m^3 \cos^3(\alpha) \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $V = \frac{4}{3}\pi m^3 \cos^3(\alpha) \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.