Страница 104 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $a$, а угол между апофемами двух соседних боковых граней равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

262. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $a$, а угол между апофемами двух соседних боковых граней равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$. Сторона основания равна $a$, то есть $AB=BC=CD=DA=a$. Объём пирамиды находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Так как основание — квадрат со стороной $a$, его площадь равна $S_{осн} = a^2$. Таким образом, $V = \frac{1}{3} a^2 H$. Для нахождения объёма необходимо определить высоту $H$.

Проведём апофемы $SM$ и $SN$ к сторонам $AB$ и $BC$ соответственно ($M$ и $N$ — середины этих сторон). Так как пирамида правильная, все её апофемы равны: $SM = SN = h_a$. По условию, угол между апофемами смежных боковых граней равен $\alpha$, то есть $\angle MSN = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $MSN$. Он равнобедренный ($SM=SN$). Найдём длину его основания $MN$. В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. В прямоугольном треугольнике $MBN$ катеты равны $MB = BN = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $MN^2 = MB^2 + BN^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$. Следовательно, $MN = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Применим к треугольнику $MSN$ теорему косинусов, чтобы найти длину апофемы $h_a$: $MN^2 = SM^2 + SN^2 - 2 \cdot SM \cdot SN \cdot \cos(\angle MSN)$ $(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = h_a^2 + h_a^2 - 2 \cdot h_a \cdot h_a \cdot \cos(\alpha)$ $\frac{a^2}{2} = 2h_a^2 - 2h_a^2\cos(\alpha) = 2h_a^2(1 - \cos(\alpha))$. Используя формулу понижения степени $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем: $\frac{a^2}{2} = 2h_a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4h_a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. Отсюда выражаем квадрат апофемы: $h_a^2 = \frac{a^2}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$. Пусть $O$ — центр основания. Высота $H = SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (гипотенуза $SM=h_a$, катеты $SO=H$ и $OM$). Длина катета $OM$ равна половине стороны основания, то есть $OM = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $H^2 = SM^2 - OM^2 = h_a^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{a^2}{4}$. Приведём к общему знаменателю: $H^2 = a^2 \left( \frac{1}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})} \right) = a^2 \frac{1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, упростим выражение: $H^2 = \frac{a^2 \cos(\alpha)}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$. Тогда высота равна: $H = \sqrt{\frac{a^2 \cos(\alpha)}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Подставим найденную высоту в формулу объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} a^2 H = \frac{1}{3} a^2 \left( \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2})} \right) = \frac{a^3\sqrt{\cos(\alpha)}}{6\sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2})}$. Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $V = \frac{a^3\sqrt{\cos(\alpha)}\sqrt{2}}{6\sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2})\sqrt{2}} = \frac{a^3\sqrt{2\cos(\alpha)}}{12\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{2\cos(\alpha)}}{12\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

263. Площадь боковой грани правильной четырёхугольной пирамиды равна $S$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $d$. Найдите объём пирамиды.

263. Площадь боковой грани правильной четырёхугольной пирамиды равна $S$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $d$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида. Обозначим сторону её квадратного основания как $a$, высоту пирамиды как $h$, а апофему (высоту боковой грани) как $l$.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} a^2 h$

Площадь боковой грани $S$, по условию задачи, равна:

$S = \frac{1}{2} a \cdot l$

Из этой формулы можно выразить произведение $a \cdot l$:

$al = 2S$

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через её высоту и апофему. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — апофема $l$.

Расстояние $d$ от центра основания (вершина прямого угла в нашем треугольнике) до боковой грани — это высота этого прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $l$.

Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{a}{2} = \frac{ah}{4}$

2. Через гипотенузу и высоту, опущенную на неё: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot d$

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем соотношение:

$\frac{ah}{4} = \frac{ld}{2}$

Умножим обе части на 4:

$ah = 2ld$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с переменными $a, h, l$:

1. $al = 2S$

2. $ah = 2ld$

Из первого уравнения выразим апофему $l = \frac{2S}{a}$ и подставим во второе уравнение:

$ah = 2 \left( \frac{2S}{a} \right) d$

$ah = \frac{4Sd}{a}$

Умножим обе части уравнения на $a$, чтобы избавиться от знаменателя:

$a^2 h = 4Sd$

Мы получили выражение для $a^2 h$, которое является частью формулы для объёма пирамиды. Подставим его в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} a^2 h = \frac{1}{3} (4Sd)$

$V = \frac{4Sd}{3}$

Ответ: $\frac{4Sd}{3}$

264. Точки M, K и P — середины рёбер $A_1D_1$, $D_1C_1$ и $DD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно (рис. 28). Найдите объём пирамиды $D_1MKP$, если объём куба равен $V$.

Рис. 28

264. Точки $M$, $K$ и $P$ — середины рёбер $A_1 D_1$, $D_1 C_1$ и $DD_1$ куба $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ соответственно (рис. 28). Найдите объём пирамиды $D_1 MKP$, если объём куба равен $V$.

Рис. 28

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Тогда объем куба равен $V = a^3$.

По условию, точки $M$, $K$ и $P$ — середины рёбер $A_1D_1$, $D_1C_1$ и $DD_1$ соответственно.Это означает, что:

• $D_1M = \frac{1}{2} A_1D_1 = \frac{a}{2}$
• $D_1K = \frac{1}{2} D_1C_1 = \frac{a}{2}$
• $DP = \frac{1}{2} DD_1 = \frac{a}{2}$, следовательно, $D_1P = DD_1 - DP = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$

Объем пирамиды $D_1MKP$ можно найти по формуле $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h$.

В качестве основания пирамиды выберем треугольник $D_1MK$. Этот треугольник лежит в плоскости верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Рёбра куба $A_1D_1$ и $D_1C_1$ перпендикулярны, так как они являются сторонами квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, отрезки $D_1M$ и $D_1K$, лежащие на этих рёбрах, также перпендикулярны. Таким образом, треугольник $\triangle D_1MK$ является прямоугольным с катетами $D_1M$ и $D_1K$.

Площадь основания $S_{\triangle D_1MK}$ равна:$S_{\triangle D_1MK} = \frac{1}{2} \cdot D_1M \cdot D_1K = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$

Вершиной пирамиды при таком основании является точка $P$. Высота пирамиды $h$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на плоскость основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1D_1$, поэтому отрезок $D_1P$, являющийся его частью, также перпендикулярен этой плоскости. Значит, высота пирамиды равна длине отрезка $D_1P$.$h = D_1P = \frac{a}{2}$

Теперь вычислим объем пирамиды $D_1MKP$:$V_{D_1MKP} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle D_1MK} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{8} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{48}$

Так как объем куба $V = a^3$, мы можем выразить объем пирамиды через $V$:$V_{D_1MKP} = \frac{V}{48}$

Ответ: $\frac{V}{48}$

265. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 12 см и углом $30^\circ$ при основании. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

265. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 12 см и углом $30^\circ$ при основании. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдем характеристики треугольника, лежащего в основании. Основание — это равнобедренный треугольник с боковой стороной $a = 12$ см и углом при основании $\alpha = 30^\circ$. Угол при вершине, противолежащей основанию, равен $\gamma = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.

Площадь основания $S_{осн}$ можно вычислить по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ) = 72 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}$ см².

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Это означает, что все боковые ребра равны, а вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Радиус этой окружности ($R$) является проекцией бокового ребра на плоскость основания.

Найдем радиус описанной окружности $R$, используя теорему синусов для треугольника в основании:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Отсюда $R = \frac{a}{2\sin \alpha} = \frac{12}{2\sin(30^\circ)} = \frac{12}{2 \cdot 0.5} = \frac{12}{1} = 12$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром и радиусом описанной окружности $R$. В этом треугольнике $R$ и $H$ являются катетами. Угол между боковым ребром и его проекцией $R$ (то есть угол с плоскостью основания) равен $60^\circ$.

Высоту пирамиды $H$ можно найти из тангенса этого угла:

$\tan(60^\circ) = \frac{H}{R}$

$H = R \cdot \tan(60^\circ) = 12 \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} = 144 \cdot 3 = 432$ см³.

Ответ: $432$ см³.

266. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите объём пирамиды.

266. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдем площадь основания. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Катеты этого треугольника можно выразить через гипотенузу и угол: $a = c \sin\alpha$ и $b = c \cos\alpha$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} (c \sin\alpha)(c \cos\alpha) = \frac{1}{2} c^2 \sin\alpha \cos\alpha$.Применяя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$, получаем:$S_{осн} = \frac{1}{4} c^2 \sin(2\alpha)$.

Далее найдем высоту пирамиды $H$. По условию, все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания одинаковый угол $\gamma$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$.Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ (который является проекцией бокового ребра на плоскость основания) и само боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике катет $H$ противолежит углу $\gamma$, а катет $R$ прилежит к нему. Таким образом, $\tan\gamma = \frac{H}{R}$, откуда $H = R \cdot \tan\gamma$.Подставив значение радиуса $R$, получаем:$H = \frac{c}{2} \tan\gamma$.

Теперь, имея выражения для площади основания и высоты, мы можем вычислить объём пирамиды, подставив их в исходную формулу:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} c^2 \sin(2\alpha)\right) \cdot \left(\frac{c}{2} \tan\gamma\right)$.Перемножив все члены, получаем окончательное выражение для объёма:$V = \frac{c^3 \sin(2\alpha) \tan\gamma}{24}$.

Ответ: $V = \frac{c^3 \sin(2\alpha) \tan\gamma}{24}$.

267. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 25 см, 29 см и 36 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^{\circ}$. Найдите объём пирамиды.

267. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 25 см, 29 см и 36 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для решения задачи необходимо последовательно определить площадь основания и высоту пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. Основанием является треугольник со сторонами $a = 25$ см, $b = 29$ см и $c = 36$ см. Для вычисления его площади воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Вычислим полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25 + 29 + 36}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

Теперь, зная полупериметр, найдём площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)} = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{900 \cdot 144} = 30 \cdot 12 = 360$ см².

Далее найдём высоту пирамиды $H$. По условию, все двугранные углы при рёбрах основания равны. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема боковой грани образуют прямоугольный треугольник. Угол между радиусом $r$ и апофемой является линейным углом заданного двугранного угла и равен 45°. В этом прямоугольном треугольнике тангенс этого угла равен отношению высоты к радиусу: $\tan(45°) = \frac{H}{r}$.

Так как $\tan(45°) = 1$, отсюда следует, что высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности: $H = r$.

Радиус вписанной в треугольник окружности найдём по формуле $r = \frac{S}{p}$:

$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{360}{45} = 8$ см.

Следовательно, высота пирамиды $H$ также равна 8 см.

Наконец, зная площадь основания и высоту, вычислим объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot 360 \cdot 8 = 120 \cdot 8 = 960$ см³.

Ответ: $960$ см³.

268. Основание пирамиды — ромб с острым углом $\beta$ и меньшей диагональю $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

268. Основание пирамиды — ромб с острым углом $\beta$ и меньшей диагональю $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания.

Основанием пирамиды является ромб с острым углом $\beta$ и меньшей диагональю $d$. Меньшая диагональ в ромбе лежит против острого угла. Пусть основание — ромб $ABCD$, $\angle BAD = \beta$ и $BD = d$. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$, перпендикулярны друг другу и делятся точкой пересечения пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. В нём $OB = \frac{BD}{2} = \frac{d}{2}$, а угол $\angle OAB = \frac{\angle BAD}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Найдём половину второй диагонали $AO$:

$AO = OB \cdot \cot(\angle OAB) = \frac{d}{2} \cot(\frac{\beta}{2})$.

Тогда вторая диагональ ромба $AC = 2 \cdot AO = d \cot(\frac{\beta}{2})$.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot d \cot(\frac{\beta}{2}) \cdot d = \frac{d^2}{2} \cot(\frac{\beta}{2}) = \frac{d^2}{2 \tan(\frac{\beta}{2})}$.

2. Найдём высоту пирамиды.

По условию, все двугранные углы при рёбрах основания равны $\alpha$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Для ромба центром вписанной окружности является точка пересечения его диагоналей — точка $O$. Следовательно, высота пирамиды $H$ — это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с точкой $O$.

Высоту $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом $r$ вписанной в основание окружности и апофемой боковой грани. В этом треугольнике катеты — $H$ и $r$, а угол, противолежащий катету $H$, равен $\alpha$. Таким образом, $H = r \cdot \tan(\alpha)$.

Найдём радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба $h_{ромба}$. Высоту ромба можно найти через площадь и сторону. Найдём сторону ромба $a$ из треугольника $\triangle AOB$:

$a = AB = \frac{OB}{\sin(\angle OAB)} = \frac{d/2}{\sin(\beta/2)} = \frac{d}{2\sin(\beta/2)}$.

Площадь ромба также равна $S_{осн} = a \cdot h_{ромба}$. Отсюда высота ромба:

$h_{ромба} = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{\frac{d^2}{2}\cot(\frac{\beta}{2})}{\frac{d}{2\sin(\frac{\beta}{2})}} = \frac{d^2 \cos(\frac{\beta}{2})}{2\sin(\frac{\beta}{2})} \cdot \frac{2\sin(\frac{\beta}{2})}{d} = d \cos(\frac{\beta}{2})$.

Тогда радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{d \cos(\frac{\beta}{2})}{2}$.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = r \cdot \tan(\alpha) = \frac{d \cos(\frac{\beta}{2}) \tan(\alpha)}{2}$.

3. Вычислим объём пирамиды.

Подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{d^2}{2 \tan(\frac{\beta}{2})} \right) \cdot \left( \frac{d \cos(\frac{\beta}{2}) \tan(\alpha)}{2} \right) = \frac{d^3 \tan(\alpha) \cos(\frac{\beta}{2})}{12 \tan(\frac{\beta}{2})}$.

Ответ: $V = \frac{d^3 \tan(\alpha) \cos(\frac{\beta}{2})}{12 \tan(\frac{\beta}{2})}$.

269. Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция. Точка касания окружности, вписанной в эту трапецию, и её большей боковой стороны делит эту сторону на отрезки длиной 16 см и 36 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

269. Основанием пирамиды является прямоугольная тра-пеция. Точка касания окружности, вписанной в этутрапецию, и её большей боковой стороны делит этусторону на отрезки длиной 16 см и 36 см. Двугранныеуглы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$.Найдите объём пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольная трапеция $ABCD$, с основаниями $AB$ и $CD$ ($AB \parallel CD$) и боковой стороной $AD$, перпендикулярной основаниям ($\angle A = \angle D = 90^\circ$). Тогда $BC$ — большая боковая сторона.

Нахождение параметров основания (трапеции)

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, она является описанным четырехугольником. Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$. По условию, точка $K$ делит сторону $BC$ на отрезки длиной 16 см и 36 см. Таким образом, длина стороны $BC$ равна: $BC = 16 + 36 = 52$ см.

Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $r$ — её радиус. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. Рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезки $OB$ и $OC$ являются биссектрисами углов $B$ и $C$ соответственно.

Так как $AB \parallel CD$, то сумма углов при боковой стороне $BC$ равна $180^\circ$: $\angle B + \angle C = 180^\circ$.

Следовательно, в треугольнике $BOC$ сумма углов $\angle OBC$ и $\angle OCB$ равна: $\angle OBC + \angle OCB = \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.

Это означает, что третий угол треугольника $BOC$ равен $\angle BOC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $BOC$ — прямоугольный.

Отрезок $OK$ является радиусом, проведенным в точку касания, поэтому $OK \perp BC$. В прямоугольном треугольнике $BOC$ отрезок $OK$ является высотой, проведенной к гипотенузе. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, её квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу ($BK=16$ см и $KC=36$ см): $r^2 = OK^2 = BK \cdot KC = 16 \cdot 36 = 576$

$r = \sqrt{576} = 24$ см.

Высота прямоугольной трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности: $h = AD = 2r = 2 \cdot 24 = 48$ см.

По свойству описанного четырехугольника, суммы длин противоположных сторон равны: $AB + CD = AD + BC = 48 + 52 = 100$ см.

Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды (площадь трапеции): $S_{осн} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{100}{2} \cdot 48 = 50 \cdot 48 = 2400$ см².

Нахождение высоты пирамиды

Пусть $S$ — вершина пирамиды. По условию, все двугранные углы при рёбрах основания равны $60^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности, то есть в точку $O$. Высота пирамиды $H$ равна длине отрезка $SO$.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между плоскостью основания и боковой гранью. Рассмотрим грань $SBC$. Линейный угол этого двугранного угла — это угол $\angle SKO$, где $SK$ — апофема грани $SBC$ (высота, проведенная из вершины $S$ к стороне $BC$). Мы уже знаем, что $OK \perp BC$ и $OK$ лежит в плоскости основания. Так как $SO$ — перпендикуляр к плоскости основания, то по теореме о трёх перпендикулярах $SK \perp BC$.

Таким образом, $\angle SKO = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ (где $\angle SOK = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $OK = r = 24$ см, а катет $SO = H$. Мы можем найти $H$ через тангенс угла $\angle SKO$: $\text{tg}(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{H}{r}$

$H = r \cdot \text{tg}(60^\circ) = 24 \cdot \sqrt{3}$ см.

Вычисление объёма пирамиды

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

Подставим найденные значения площади основания и высоты: $V = \frac{1}{3} \cdot 2400 \cdot 24\sqrt{3} = 800 \cdot 24\sqrt{3} = 19200\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $19200\sqrt{3}$ см³.