Номер 269, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

269. Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция. Точка касания окружности, вписанной в эту трапецию, и её большей боковой стороны делит эту сторону на отрезки длиной 16 см и 36 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

269. Основанием пирамиды является прямоугольная тра-пеция. Точка касания окружности, вписанной в этутрапецию, и её большей боковой стороны делит этусторону на отрезки длиной 16 см и 36 см. Двугранныеуглы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$.Найдите объём пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольная трапеция $ABCD$, с основаниями $AB$ и $CD$ ($AB \parallel CD$) и боковой стороной $AD$, перпендикулярной основаниям ($\angle A = \angle D = 90^\circ$). Тогда $BC$ — большая боковая сторона.

Нахождение параметров основания (трапеции)

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, она является описанным четырехугольником. Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$. По условию, точка $K$ делит сторону $BC$ на отрезки длиной 16 см и 36 см. Таким образом, длина стороны $BC$ равна: $BC = 16 + 36 = 52$ см.

Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $r$ — её радиус. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. Рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезки $OB$ и $OC$ являются биссектрисами углов $B$ и $C$ соответственно.

Так как $AB \parallel CD$, то сумма углов при боковой стороне $BC$ равна $180^\circ$: $\angle B + \angle C = 180^\circ$.

Следовательно, в треугольнике $BOC$ сумма углов $\angle OBC$ и $\angle OCB$ равна: $\angle OBC + \angle OCB = \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.

Это означает, что третий угол треугольника $BOC$ равен $\angle BOC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $BOC$ — прямоугольный.

Отрезок $OK$ является радиусом, проведенным в точку касания, поэтому $OK \perp BC$. В прямоугольном треугольнике $BOC$ отрезок $OK$ является высотой, проведенной к гипотенузе. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, её квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу ($BK=16$ см и $KC=36$ см): $r^2 = OK^2 = BK \cdot KC = 16 \cdot 36 = 576$

$r = \sqrt{576} = 24$ см.

Высота прямоугольной трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности: $h = AD = 2r = 2 \cdot 24 = 48$ см.

По свойству описанного четырехугольника, суммы длин противоположных сторон равны: $AB + CD = AD + BC = 48 + 52 = 100$ см.

Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды (площадь трапеции): $S_{осн} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{100}{2} \cdot 48 = 50 \cdot 48 = 2400$ см².

Нахождение высоты пирамиды

Пусть $S$ — вершина пирамиды. По условию, все двугранные углы при рёбрах основания равны $60^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности, то есть в точку $O$. Высота пирамиды $H$ равна длине отрезка $SO$.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между плоскостью основания и боковой гранью. Рассмотрим грань $SBC$. Линейный угол этого двугранного угла — это угол $\angle SKO$, где $SK$ — апофема грани $SBC$ (высота, проведенная из вершины $S$ к стороне $BC$). Мы уже знаем, что $OK \perp BC$ и $OK$ лежит в плоскости основания. Так как $SO$ — перпендикуляр к плоскости основания, то по теореме о трёх перпендикулярах $SK \perp BC$.

Таким образом, $\angle SKO = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ (где $\angle SOK = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $OK = r = 24$ см, а катет $SO = H$. Мы можем найти $H$ через тангенс угла $\angle SKO$: $\text{tg}(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{H}{r}$

$H = r \cdot \text{tg}(60^\circ) = 24 \cdot \sqrt{3}$ см.

Вычисление объёма пирамиды

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

Подставим найденные значения площади основания и высоты: $V = \frac{1}{3} \cdot 2400 \cdot 24\sqrt{3} = 800 \cdot 24\sqrt{3} = 19200\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $19200\sqrt{3}$ см³.