Номер 264, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

264. Точки M, K и P — середины рёбер $A_1D_1$, $D_1C_1$ и $DD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно (рис. 28). Найдите объём пирамиды $D_1MKP$, если объём куба равен $V$.

Рис. 28

264. Точки $M$, $K$ и $P$ — середины рёбер $A_1 D_1$, $D_1 C_1$ и $DD_1$ куба $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ соответственно (рис. 28). Найдите объём пирамиды $D_1 MKP$, если объём куба равен $V$.

Рис. 28

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Тогда объем куба равен $V = a^3$.

По условию, точки $M$, $K$ и $P$ — середины рёбер $A_1D_1$, $D_1C_1$ и $DD_1$ соответственно.Это означает, что:

• $D_1M = \frac{1}{2} A_1D_1 = \frac{a}{2}$
• $D_1K = \frac{1}{2} D_1C_1 = \frac{a}{2}$
• $DP = \frac{1}{2} DD_1 = \frac{a}{2}$, следовательно, $D_1P = DD_1 - DP = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$

Объем пирамиды $D_1MKP$ можно найти по формуле $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h$.

В качестве основания пирамиды выберем треугольник $D_1MK$. Этот треугольник лежит в плоскости верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Рёбра куба $A_1D_1$ и $D_1C_1$ перпендикулярны, так как они являются сторонами квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, отрезки $D_1M$ и $D_1K$, лежащие на этих рёбрах, также перпендикулярны. Таким образом, треугольник $\triangle D_1MK$ является прямоугольным с катетами $D_1M$ и $D_1K$.

Площадь основания $S_{\triangle D_1MK}$ равна:$S_{\triangle D_1MK} = \frac{1}{2} \cdot D_1M \cdot D_1K = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$

Вершиной пирамиды при таком основании является точка $P$. Высота пирамиды $h$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на плоскость основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1D_1$, поэтому отрезок $D_1P$, являющийся его частью, также перпендикулярен этой плоскости. Значит, высота пирамиды равна длине отрезка $D_1P$.$h = D_1P = \frac{a}{2}$

Теперь вычислим объем пирамиды $D_1MKP$:$V_{D_1MKP} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle D_1MK} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{8} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{48}$

Так как объем куба $V = a^3$, мы можем выразить объем пирамиды через $V$:$V_{D_1MKP} = \frac{V}{48}$

Ответ: $\frac{V}{48}$