Номер 260, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

260. Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной пирамиды равна $S$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

260. Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной пирамиды равна S, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $α$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. В ее основании лежит квадрат, а высота проецируется в центр основания (точку пересечения диагоналей).

Обозначим высоту пирамиды как $H$, а диагональ квадрата в основании как $d$.

Диагональное сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диагональ квадрата $d$, а высотой — высота пирамиды $H$. Площадь этого сечения $S$ равна: $S = \frac{1}{2} d \cdot H$

Боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Этот угол представляет собой угол между боковым ребром и его проекцией на основание, которой является половина диагонали ($\frac{d}{2}$). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, половиной диагонали $\frac{d}{2}$ (катеты) и боковым ребром (гипотенуза), справедливо соотношение: $\tan(\alpha) = \frac{H}{d/2} = \frac{2H}{d}$

Мы имеем систему из двух уравнений: 1) $2S = dH$ 2) $d = \frac{2H}{\tan(\alpha)}$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $H$: $2S = \left(\frac{2H}{\tan(\alpha)}\right) \cdot H$ $2S = \frac{2H^2}{\tan(\alpha)}$ $S = \frac{H^2}{\tan(\alpha)}$ $H^2 = S \cdot \tan(\alpha)$ $H = \sqrt{S \tan(\alpha)}$

Теперь найдем диагональ $d$: $d = \frac{2H}{\tan(\alpha)} = \frac{2\sqrt{S \tan(\alpha)}}{\tan(\alpha)}$

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Площадь основания (квадрата) можно найти через его диагональ: $S_{осн} = \frac{d^2}{2}$. $S_{осн} = \frac{1}{2} \left( \frac{2\sqrt{S \tan(\alpha)}}{\tan(\alpha)} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4S \tan(\alpha)}{\tan^2(\alpha)} = \frac{2S}{\tan(\alpha)}$

Теперь подставим найденные $S_{осн}$ и $H$ в формулу для объема: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{2S}{\tan(\alpha)} \cdot \sqrt{S \tan(\alpha)}$

Упростим выражение: $V = \frac{2S}{3\tan(\alpha)} \sqrt{S \tan(\alpha)} = \frac{2S\sqrt{S}\sqrt{\tan(\alpha)}}{3\tan(\alpha)} = \frac{2S\sqrt{S}}{3\sqrt{\tan(\alpha)}}$ Это выражение также можно записать как $V = \frac{2S\sqrt{S}}{3}\sqrt{\cot(\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{2S\sqrt{S}}{3\sqrt{\tan(\alpha)}}$